1: VRAI OU FAUX topologie

[invite770b3cad]

salut
vrai ou faux en justifiant : (X,d) étant un esoace mètrique

a- X séquentiellement compact et f: X-> X continue => f(X)
séquentiellement compact.

b- X e v normé de dimension finie => E={x dans X / || x || <= 1} est
compact.

en effet
pour b il me semble que c'est vrai par ce que E est fermé borné en dimension finie
mais pour a je sais la définition d'un espace séquentiellement compact c'est que toute suite de X admet une sous suite convergente
la question qui se pose c'est,
est ce que l'image par une fontion continue garde la compacité ??
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[thepasboss]

Bonjour, la propriété a) n'est qu'une suite de retours aux définitions.

Tu prend une suite Yn de f(X). Par définition de f(X) il existe An une suite de X telle que Yn = f(An). Or X est séquentiellement compact. Donc Il existe Bn sous suite de An qui converge vers c dans X. Donc si on pose Zn la sous suite de Yn définie par Zn = f(Bn), on peut immédiatement conclure en passant à la limite en constatant que f(Bn) converge vers f(c) car f est continue. D'où Zn converge vers f(c) et f(c) est bien dans f(X). Donc f(X) est bien séquentiellement compact.

Pour la b) en effet la compacité vient du fait que E est un fermé borné d'un espace vectoriel de dimension finie.

[invite80487107]

c'est quoi la différence entre compact et séquentiellement compact puisque d'après B-W
compact <=> toute suite admet au moins une valeur d'adhérence
et une suite qui admet une valeur adhérent il existe nécessairement une sous suite qui converge vers cet valeur d'adhérence

[thepasboss]

D'après mon cour, c'est pour faire la distinction entre les deux définitions de la compacité.

Celle de B-W Qui revient bien à ce que tu as écrit, et la définition HBL ( je ne m'aventurerai pas à écrire les prénoms de ces trois messieurs à cause de quelques doutes sur l'orthographe) qui est je crois la suivante : X est compact <=> de tout recouvrement d'ouverts de X on peut extraire un sous recouvrement fini (grosso modo si tu as Ui une famille d'ouvert qui vérifient "l'union de tous les Ui contient X", alors il existe un nombre fini d'indices i1,...,in tels que l'union des Ui1, Ui2 ,... , Uin contiennent aussi X).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80487107]

oui je connais c'est la définition d'un compact
qu'est ce que tu peux dire sur l'équivalence suivant:
X compact <=>X sqé compact ?? en justifiant