Triangulation par les retards

[yaesen]

Bonjour,
Je cherche à résoudre un problème de triangulation du point d'origine d'une onde dans un espace 2D en me servant de 3 capteurs qui mesurent les retards comme suit:
1_à t=0, l'onde (celerité v connue) atteint le point A (retard en A = 0s)
2_à t=t2, l'onde atteint le point B (retard en B = t2)
3_à t=t3, l'onde atteint le point C (retard en C = t3)
4_à l'aide de ces 3 retards et de v, on calcule le point de départ de l'onde O.

Au final, on doit trouver le centre du cercle de centre O, passant par A et tangent aux cercles de centres B et C et de rayon respectifs v*t2 et v*t3.

je trouve que la solution de mon problème est l'intersection de 2 hyperboles, mais je ne vois pas comment calculer exactement l'expression (je n'ai qu'une méthode approchée...)

Un grand merci à qui pourra m'aider.
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[inviteaf1870ed]

Il y a quelque chose d'étrange dans ton problème : si à t=0 l'onde est en A, quand est elle partie de O ?

[invite57a1e779]

si à t=0 l'onde est en A, quand est elle partie de O ?

Elle est partie à un instant

En fait les seules données accessibles sont les temps , et de réception de l'onde en , et .

Le problème de la triangulation est de déterminer la position de l'émetteur à l'aide des seuls décalages et , ce qui revient bien à construire un cercle passant par un point, et tangent à deux cercles donnés.

[yaesen]

c'est ça. Maintenant, ce que je cherche, c'est une expression exacte de la solution pour pouvoir l'implémenter électroniquement pour un petit projet spécial. Jusqu'ici, je n'ai qu'une méthode approchée consistant à me servir de l'intersection des asymptotes à l'infini de mes 2 hyperboles. L'approximation est pas mauvaise, mais j'aimerais savoir tout de même comment résoudre le problème rigoureusement.
Ce qui me gêne, c'est un certain système de 2 équations à 2 inconnues, sauf que ces 2 inconnues ont des puissances 2, d'où système non linéaire... et mon cerveau déteste ce qui n'est pas linéaire...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Par une inversion de pôle , le cercle passant par et tangents aux cercles et de centres respectifs et est transformé en une droite, tangente commune aux cercles et inverses de et .

Le problème est donc de construire les tangentes communes à deux cercles. Comme elles passent par l'un des centres d'homothéties des cercles, il suffit de construire la tangente menée d'un point à un cercle.

Ceci ne nécessite que la résolution d'une équation du second degré.

Reste à faire les calculs...

[yaesen]

Merci pour l'indication , mais c'est quoi au juste cette inversion de poles qui transforme un cercle en droite ? j'ai pas vraiment capté cette partie, désolé...

[invite57a1e779]

Merci pour l'indication , mais c'est quoi au juste cette inversion de poles qui transforme un cercle en droite ? j'ai pas vraiment capté cette partie, désolé...

Lorsque tu répères les points par leurs affixes complexes, étant d'affixe , l'inversion transforme d'affixe en d'affixe .

[invite88c5f428]

Bonjour, j'ai exactement le même problème (5 ans plus tard) mais moi je suis une bille en math!
Pourriez vous m'expliquer comment je peux déterminer la position du point O à l'aide de formules mathématiques. J'ai bien essayé de suivre votre raisonnement mais j'ai rapidement décroché