A

[invite769a1844]

Bonjour,

on considère une matrice réelle de taille inversible, et des vecteurs non nuls de .

La formule de Sherman-Morrison dit que est inversible ssi et .

Pour l'implication indirecte, le plan proposé est de déterminer les valeurs propres de (qui est inversible ssi l'est), regarder les sous-espace propres associés, puis en déduire que .

Pour trouver les valeurs propres, je calcule le polynôme caractéristique:



et là je ne vois pas comment aller plus loin, je suis sensé trouver 1 de multiplicité et de multiplicité 1.

Merci pour votre aide.
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[invite769a1844]

désolé pour le titre, je me suis un peu foiré.

[invitebb921944]

Bonjour,
y'a pas une erreur dans la dernière formule de ton énoncé ?
(tu écris )

[invite769a1844]

Non je ne pense pas, j'ai regardé diverses sources, c'est toujours exprimé de cette façon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

J'ai trouvé celle ci pour ma part :
sur ce site :
http://exo7.emath.fr/fichtml/fic00024.html dans la correction de l'exo 2211.

[invite769a1844]

ah oui tu as a raison, je suis un peu trop perdu dans ces raionnements.

En quoi cette relation peut aider pour calculer le polynôme caractéristique?

[invitebb921944]

Je ne sais pas, je cherche
Ca m'a pas l'air facile du tout.
Je ne pense pas que tu puisses avoir une expression du polynôme caractéristique...
Pour le moment je patauge...

[invite769a1844]

merci de t'y pencher, je me suis lancé dans le calcul du polynôme caractéristique car c'est le seul moyen que je connais pour déterminer des valeurs propres. Il faut peut être faire autrement.

C'est sensé être facile.

[invitebb921944]

Je pense qu'il faut utiliser le faut que est valeur propre si et seulement si n'est pas inversible.
Dans ton cas,

Or, montrer que est non inversible est équivalent à montrer que est non inversible (c'est dans ton énoncé).
Par la formule que je t'ai donné (celle qui me semblait fausse) où l'on considère la matrice au lieu de :

.
Cette expression n'est pas définie si et seulement si et en tenant compte des hypothèses de ton énoncé ( inversible).

Cela dit, cela ne donne pas la multiplicité des valeurs propres alors soit il y a plus simple et plus efficace, soit je ne vois pas...

[invite769a1844]

ah oui merci, ton raisonnement me parait suffisamment simple,
pour les multiplicités, je regarde le sous-espace propre associé à 1, et je vois qu'un vecteur est dans ce sous-espace ssi il est orthogonal à v, donc sa multiplicité est n-1, et du coup on doit facilement trouver que la multiplicité de l'autre vecteur est 1.

[invite57a1e779]

Soit une valeur propre de , et un vecteur propre associé, on a donc , donc .

Or est un scalaire, que je note , et on a donc : , d'où deux possibilités :

1. , donc : 1 est valeur propre de et l'espace propre est l'hyperplan orthogonal à ; il reste donc au plus une valeur propre avec une droite propre associée.

2. , donc et est colinéaire à . La droite propre éventuelle est dirigée par . Vérifions si est vecteur propre de :

.

Donc est bien vecteur propre de pour la valeur propre .

[invite769a1844]

ok c'est bien plus clair, je me suis en fait trop accroché au polynôme caractéristique.

Merci à vous.