Vagues

[invite11568c71]

Bonjour,

Pouvez-vous vérifier mes solutions sur cet exercice portant sur les limites de suites svp ?

(image en pièce jointe)

On considère , la courbe formée par deux demi-cercles de diamètre , , ensuite , , la courbe formée par quatre demi-cercles de rayon , , puis , , la courbe formée par huit demi-cercles de rayon , ,... et ainsi de suite.


NB: Je pense qu'il y a déjà une faute dans l'énoncé (qui vient d'un bouquin et non d'un cours) car on parle un coup de diamètre et puis de rayon. Le , du dessin est trompeur car on ne sait pas ce qu'il faut considérer. Je pense néanmoins qu'il s'agit chaque fois de diamètre. La courbe , a un diamètre de , un diamètre de , ,...
Vous confirmez ?


Ecrire la suite des rayons des demi-cercles, la suite des longueurs des courbes, le terme général et la limite de chacune de ces suites lorsque le nombre de termes tend vers l'infini.


Solution :

Suite des rayons :
Terme général :
Limite :



Suite des longueurs :
Terme général :
Limite :

Si l'on met bout à bout toutes ces lignes, quelle est la longueur de la ligne obtenue lorsque $n$ tend vers l'infini ?


Solution :

Notation : Soit la longueur de la ligne obtenue au cran
On a



D'où,

Ecrire la suite des aires. Quelle est la limite de cette suite lorsque tend vers l'infini ?

Solution :

Notation : Soit l'aire dlimitée par la courbe



...

On a donc

D'où,

Que vaut la somme des aires lorsque tend vers l'infini ?

Solution :






.

Merci beaucoup !

PS: Il semblerait qu'il y ait un paradoxe derrière tout ça. En effet, si je ce que j'ai montré est correct, la longueur de la courbe tend vers . Or, à la limite, la courbe se confond aves le segment, qui a pour longueur d'où ...Très étrange...
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[invite57a1e779]

La pièce jointe n'est pas encore visible, mais je pense avoir compris de quoi il s'agit.
Ton raisonnement et tes résultats sont parfaitement corrects.

[invite11568c71]

Grand merci !

Ce sont des arcs de cercle qui passent au-dessus puis en-dessous d'un segment horizontal d'où le terme de "vagues".

Pour moi, l'erreur est justifiée dans l'énoncé. Je mettrai partout "diamètre" au lieu de "rayon".

En ce qui concerne le paradoxe sous-jacent, on trouve qqs trucs sur internet comme quoi c'est une erreur au niveau du concept de limite. Les différents arcs de cercle ne tendent pas vers le segment horizontal.

Qu'en pensez-vous (peut-être attendre la validation de l'image...)

[invite57a1e779]

Si tu remplace « rayon » par « diamètre », cela va changer tes valeurs numériques d'un facteur 2 (longueurs) ou 4 (surfaces), mais pas le raisonnement général, ni le paradoxe final.

Lequel paradoxe final provient en fait d'un passage à la limite mal maîtrisé : que veux dire « la courbe tend vers le segment » ?.

Toutes les courbes successives ont même longueur : à chaque étape on divise par 2 la longueur de chaque cercle, mais on double le nombre de cercles. Or la longueur initiale n'est pas celle du segment, donc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

....................

[invitec317278e]

question d'élève :
Si on se place dans le plan de telle manière que le segment soit la fonction définie sur [0,2] par f(x)=0, qu'on se place dans l'espace vectoriel normé des fonctions continues de [0,2] dans [-2,2] (muni de la norme définie par ), et qu'on prend la suite de fonctions telle que soit la fonction obtenue à la n-ième étape, ne peut-on pas dire que la suite de fonctions ainsi définie tend vers le segment au sens de cette norme ?
(ie : )

[invite57a1e779]

Bonsoir Thorin,

Bien sûr que si : la courbe tend bien vers le segment au sens de la convergence uniforme.
On prouve simplement que ne tend pas vers , c'est-à-dire que la fonction « longueur d'une courbe » n'est pas continue pour la norme uniforme.
C'est cette discontinuité qui est contraire à l'intuition, donc paradoxale.

[invitec317278e]

C'est assez intriguant.
Merci pour l'explication.

[invite11568c71]

God's Breath, l'image étant chargée, vous me confirmez l'exactitude de l'énoncé ?
Si oui, pourquoi décrire C1 par son diamètre et les autres courbes par leur rayon ??
Merci et bonne soirée.

[invite57a1e779]

Il est effectif que le premier cercle est de diamètre 1, donc qu'ensuite les cercles sont de diamètre 1/2, 1/4, ...
Mais comme le diamètre s'appelle r, et que les formules du périmètre et de l'aire sont classiquement données en fonction du rayon, je pense qu'il faut lire rayon à la place de diamètre.
Tout ceci est le signe d'un texte rapidement écrit dans l'urgence, et pas relu.