Bonjour,
Pouvez-vous vérifier mes solutions sur cet exercice portant sur les limites de suites svp ?
(image en pièce jointe)
On considère, la courbe formée par deux demi-cercles de diamètre
, , ensuite
, , la courbe formée par quatre demi-cercles de rayon
, , puis
, , la courbe formée par huit demi-cercles de rayon
, ,... et ainsi de suite.
NB: Je pense qu'il y a déjà une faute dans l'énoncé (qui vient d'un bouquin et non d'un cours) car on parle un coup de diamètre et puis de rayon. Le, du dessin est trompeur car on ne sait pas ce qu'il faut considérer. Je pense néanmoins qu'il s'agit chaque fois de diamètre. La courbe
, a un diamètre de
, un diamètre de
, ,...
Vous confirmez ?
Ecrire la suite des rayons des demi-cercles, la suite des longueurs des courbes, le terme général et la limite de chacune de ces suites lorsque le nombre de termes tend vers l'infini.
Solution :
Suite des rayons :![]()
Terme général :![]()
Limite :![]()
Suite des longueurs :![]()
Terme général :![]()
Limite :
Si l'on met bout à bout toutes ces lignes, quelle est la longueur de la ligne obtenue lorsque $n$ tend vers l'infini ?
Solution :
Notation : Soitla longueur de la ligne obtenue au cran
![]()
On a![]()
![]()
![]()
D'où,
Ecrire la suite des aires. Quelle est la limite de cette suite lorsque
tend vers l'infini ?
Solution :
Notation : Soitl'aire dlimitée par la courbe
![]()
![]()
![]()
![]()
...
On a donc![]()
D'où,
Que vaut la somme des aires lorsque
tend vers l'infini ?
Solution :
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
.
Merci beaucoup !
PS: Il semblerait qu'il y ait un paradoxe derrière tout ça. En effet, si je ce que j'ai montré est correct, la longueur de la courbe tend vers. Or, à la limite, la courbe se confond aves le segment, qui a pour longueur
d'où
...Très étrange...
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