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0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!



  1. #1
    martini_bird

    Talking 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!


    ------

    Salut,

    voilà une petite colle que je trouve assez instructive:
    je pose F5=Z/5Z et je considère P=X10-X5 un polynôme de F5[X].

    Grâce au petit théorème de Fermat, je peux écrire que P=x2 -X. (car, pour tout X de F5, X4 =1)

    Dérivons maintenant les deux expressions de P à l'aide de la dérivation usuelle ( (Xn)'=nXn-1 ):
    P'=10X9-5X4=0 d'une part, et
    P'=2X-1 d'autre part.

    En calculant P'(1), je trouve 0=1.

    Sauriez-vous expliquer rigoureusement quelle erreur j'ai commise?

    Cordialement.

    -----
    Dernière modification par deep_turtle ; 25/02/2005 à 12h17. Motif: carré converti en X[exp]2[/exp]

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  3. #2
    Evil.Saien

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Alala... on a pas le droit de dériver usuellement dans Z, ou en tout cas pas comme dans R...
    Dans le meme style:
    n^2 = n + n + n + n + ... + n <- n termes
    on derive par rapport a n:
    2n = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n
    => 2 = 1
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  4. #3
    µµtt

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Bonjour,


    Mmm, dans un corps fini (ou de caractéristique non nulle) c'est pas parceque 2 polynomes prennent les mêmes valeurs qu'ils sont égaux, on peut pas confondre polynome et fonction polynome comme on le veut gaillardement dans IR (ou Q ou C).

    Du coup P=X²-X n'est pas vrai (de toute façon ils n'ont pas le même degré déjà).

  5. #4
    Gwyddon

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    je crois que la dérivation n'est pas fausse en soit (F_5 est un corps, et c'est une dérivation polynômiale, qui n'est pas nécessairement la même que la dérivation sur IR), mais comme le dit µµtt il n'y pas égalité des polynômes...

    En fait, l'on n'a pas X^4 = 1, car il y a ici confusion entre X qui désigne une suite dans F_5[X] et "la valeur prise par X quand on fait X=x dans F_5" ; il n'y a pas plus isomorphisme entre le polynôme et la fonction polynômiale associée.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #5
    matthias

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Citation Envoyé par 09Jul85
    je crois que la dérivation n'est pas fausse en soit (F_5 est un corps, et c'est une dérivation polynômiale, qui n'est pas nécessairement la même que la dérivation sur IR)
    Moi je ne vois pas du tout ce que peut signifier une dérivation sur un corps fini.

    Que signifie lim [(f(x)-f(x0))/(x-x0)] quand x tend vers x0, pour une fonction à valeurs dans Z/5Z ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    µµtt

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Bonjour,


    C'est une dérivation "formelle" qui ne s'exprime pas en termes de limite (cf par ex http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/cours1/polyfrac.pdf page 8).

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    excusez du doublon, mais pour ne pas nécessairement aller lire le lien

    où d est le degré de mon polynôme.

    Rien ne m'empêche de consdiérer le polynôme Q suivant :



    Ou encore écrit autrement :



    Pour un polynôme de degré 1, je pose Q=0 le polynôme nul, et pour le polynôme nul je pose toujours Q=0.

    J'ai ainsi défini une application de K[X] dans K[X] qui à P associe Q, et je la nomme dérivation, et je note Q = P'.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #8
    matthias

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Je n'arrive pas à lire le document.
    Acrobat reader trouve une erreur.
    En attendant que je trouve un moyen de le lire, peux-tu me donner quelques infos ?
    D'après ce que je comprends, c'est une dérivation qui n'a donc rien à voir avec la dérivation de fonctions numériques.
    Est-ce que c'est une opération qui ne concerne que les polynômes et qui permet de garder les relations usuelles entre un polynôme et son dérivé (genre x racine d'ordre a+1 d'un polynôme => x racine d'ordre a du polunôme dérivé) ?

  12. #9
    matthias

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Merci, on a posté en même temps et je n'avais pas vu le post de 09Jul85.

  13. #10
    Evil.Saien

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Ah ok, autant pour moi, ce vocabulaire et ces notations me dépassent ! Mais j'aurais essayé
    En tout cas j'ai jeté un oeil sur le pdf, et c'est ca que vous faites en prépa ?
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  14. #11
    Madarion

    Thumbs up Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    De toute façon a chaque fois qui existe une égalité alors 1 = 0 dans sa globalité :

    Je prends un exemple :



    Simplifions :


    Ce qui donne :



    Ce qui donne :


    Simplifions :


    Ce qui donne :


    En gros, chaque fois que l’on a un (multiple ou fraction) ont obtiens une égalité du genre 1=1.
    Et a chaque fois que l’on a une (addition ou soustraction) ont obtient une égalité du genre 0=0.

    Et si ont a une égalité avec des additions et des multiplications, ont obtient alors plusieurs façons de simplifier ce qui selon les cas de simplification ont obtient 0=0 ou 1=1 et comme toute les façons sont valable pour résoudre, dans la globalité ont obtient forcément 0=1.

    Après ont peut avancer que la simplification a une loi qui veut que l’on commence par les multiplications et finisse par les additions (ou vise versas je me souvient plus), mais au nom de quoi ce règlement éthique, la facilité ? Sinon ont peut dire aussi que l’on arrête la simplification quand ont obtient un résultat satisfaisant ! A bon ce n’est pas un peut arbitraire cela ?

    PS : A vous de voir si la Philosophie peut faire partie des maths dans sa globalité, sinon laissez tomber ce message. (jespère que j'évite la modération encore une foi en dissant cela)
    Dernière modification par Madarion ; 25/02/2005 à 13h40.

  15. #12
    Evil.Saien

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!


    T'es sur que tu parles de maths ? Sinon donne moi 1000 euros ca changera rien a ton compte comme 1000=0...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

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  17. #13
    matthias

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    ni de maths, ni de philosphie ....

  18. #14
    Madarion

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    1=0 sa ressemble pas a la dualité expliqué en philosophie ?

  19. #15
    matthias

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Quand tu commenceras à comprendre toi-même ce que tu dis, tu pourras commencer à faire de la phoiosophie.
    Sinon un seul commentaire : à mort les sophistes

  20. #16
    Madarion

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Soi plus précis stp, je n'arrive pas à te comprendre !
    Qu'est ce que j'ai fais de faux ?

  21. #17
    deep_turtle

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Tu n'as rien fait de faux tant que tu écris des choses évidentes du style 1=1 ou 0=0. Mais 1/ il n'y a aucune philosophie la-dedans (regarde dans un dictionnaire pour la définition de ce mot), 2/ ça n'est pas le sujet du fil, il s'agit ici de trouver une erreur subtile dans un raisonnement, et 3/ ton intervention ne présente absolument aucun intérêt. Si tu n'as pas suivi le dit raisonnement merci de ne pas polluer le fil... Une discussion n'est pas une foire ou on dit n'importe quoi sur tout et rien.

    Merci d'avance de respecter ce fil qui avait bien commencé...

    PS : et ne me parle pas de mon manque de psychologie stp, je n'essaie même pas, à ce stade...

  22. #18
    martini_bird

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Salut,

    bravo à µµtt et 09Jul85: un polynôme est effectivement un objet bien distinct de la fonction polynômiale associée. Une erreur classique mais parfois redoutable!

    Cordialement.

    NB: Désolé pour le titre: il a fallu que du soi-disant paradoxe naisse un engouement d'épancher des âneries.
    [Mode=désobligeant] Il y a fort à parier que si le titre eût été "arithmétique dans F5", le fil n'aurait pas pris cette tournure.

    Madarion, il existe des structures algébriques (des anneaux), dans lesquels 1=0. Ces anneaux sont d'un intérêt... très limité!

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  24. #19
    Evil.Saien

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    si j'ai bien compris, un polynome c'est une sorte d'opérateur ?!
    K(X) sans préciser le X
    Alors que la fonction polynomiale est ???
    pfff j'ai jamais fait ca moi !
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  25. #20
    martini_bird

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    si j'ai bien compris, un polynome c'est une sorte d'opérateur ?!
    K(X) sans préciser le X
    Alors que la fonction polynomiale est ???
    pfff j'ai jamais fait ca moi !
    Je ne sais pas ce que tu entends par opérateur (pour moi, un opérateur, c'est une application entre deux espaces de fonctions...).

    Un polynôme est un objet à part entière, auquel on associe (souvent) une fonction. Mais un polynôme n'est pas une fonction...

    Si personne ne l'a fait avant moi, je reviendrai avec des réfs.

    Cordialement.

  26. #21
    matthias

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    Tu peux définir un polynôme sur un corps IK comme une suite à éléments dans IK nuls à partir d'un certain rang. C'est à dire comme la suite de ses coefficients.
    Tu peux ensuite lui associer une fonction polynômiale qui à tout x associe a0 + a1x + .....

  27. #22
    Evil.Saien

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    j'ai lu un peu le pdf joint un peu avant...
    Bon, de ce que j'ai compris, et ce qu'a souligné Matthias, c'est que un polynome est finalement juste une liste de coefficient ? non ?
    Ensuite la fonction polynomiale renvoit une puissance de x pondérée a un certain coefficient !
    Pourquoi est-ce qu'on a besoin de faire la disctinction entre un polynome et une fonction polynomiale ?
    alala si j'avais su j'aurais fait math...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  28. #23
    Gwyddon

    Re : 0=1 dans Z/5Z: cherchez l'erreur!

    car un polynôme n'est PAS une fonction, c'est une entité mathématique qui est une suite presque nulle.

    La fonction polynômiale par contre EST une fonction

    On a besoin de faire la différence entre les deux dans des cas comme celui soulevé dans ce fil, quand le corps de référence est de caractéristique non nulle (c'est à dire qu'il existe un entier n tel que 1+ 1+ 1 +... + 1 n fois soit égal à 0)
    Dernière modification par Gwyddon ; 25/02/2005 à 16h52. Motif: incomplet
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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