Bonjour,
La fonction uniformément discontinue de [0,1] dans [0,1] qui a un nombre associe 1 si il appartient à Q et 0 sinon a t'elle une mesure nulle sur [0,1] ?
Si non, laquelle ?
Ord Q est dénombrable mais Ord R/Q ne l'est pas et pourtant f est uniformément discontinue. C'est une idée que j'ai du mal a appréhender.
Merci.
Pardon, je voulais écrire Q est dénombrable mais R/Q ne l'est pas. (d'ou Ord(Q)<Ord(R/Q).
Salut !
Comme tu le dit, Q est dénombrable, donc de mesure nul.
et R-Q et donc (qui est non dénombrable) est de mesure 1 dans [0,1]
(pour des ensemble infinie, on parle quand meme de cardinal, les ordinaux c'est encore autre choses, donc pas de "ord Q", mais bien card Q )
Si on parle d'une mesure diffuse bien sur....
Merci,Envoyé par Ksilver
Mais ce qui m'ennuie est que f est uniformément discontinue.
[0,1] int Q et [0,1] int R/Q devraient donc être de mesure identique ?
Hors il semble que non.
A qui et comment (quelles hypothèses sur la mesure doit-on retenir) doit on ce joli résultat ?
Merci.
qu'appelle tu "uniformément discontinue" ? et pourquoi donc voudrait tu que la mesure de Q et R-Q soit la meme ???
enfin ce "joli résultat" est une trivialité une fois qu'on sais définir une mesure et montrer que la mesure de Lebesgue existe : un ensemble dénombrable est union disjointe dénombrable de ces singleton, et une mesure doit entre autre vérifier que la mesure d'une union disjointe dénombrable c'est la somme des mesures... et comme pour la mesure de lebesgue les singleton sont de mesure nul on conclu que tous ensemble dénombrable est de mesure nul...
Mesure diffuse <=> Mesure des singeltons nulle
Autant pour la "trivialité", je fais ça en autodidacte.
J'entends par uniformément discontinu qu'il n'existe aucun point appartenant à R/Q ayant un voisinage sur R dont l'intersection avec Q soit nulle. Cela dit j'ai peut ête mal formulé ma pensée.
Merci.
PS: tout ensemble avec un t ou alors tous les ensembles
PS: qu'appelle tu "uniformément discontinue" ? et pourquoi donc voudrait tu que la mesure de Q et R-Q soit la meme ???
Je ne veux rien si ce n'est comprendre et je trouvais étrange que l'on puisse quelque part isoler (au sens intrerdire les voisinages) un espace de mesure non nulle par une quantité dénombrable de point.
Cordialement.
Je ne sais pas trop si il y a quelque chose à comprendre la derrière... disont que c'est plutot un excellent exemple à avoir en tete pour ce faire une intuition sur les question de mesure : par exemple il faut garder en tete qu'il existe des ensembles dans [0,1] qui sont de mesure 1, mais d'intérieur vide ! (c'est ce point qui te gène visiblement) et qu'il existe des parties denses de mesure nul.
NB : je ne sais pas si tu connais la notion d'intérieur, enfin d'intérieur vide c'est ce que tu entend par uniformément discontinue.
D'intérieur vide mais de mesure non nul !?
Oui c'est bien ce qui me troublait en y réflechissant un instant (même si je ne savais pas bien le formuler).
Merci beaucoup ksilver.
