f(c+1/2)-f(c)=0

[invited489c7f5]

soit la fonction continue sur [o,1] tel que f(o)=f(1) demontrer qu'il existe c appart a [o,1]tel que
f(c+1/2)-f(c)=0
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[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Je n'ai rien de précis à dire là tout de suite, mais ça sent le théorème de la valeur intermédiaire et/ou des accroissements finis à plusieurs dizaines de kilomètres...

Encore bonjour et encore merci.

-- françois

[MMu]

L'énoncé incite à regarder la fonction .
Tu montres que , d'où l'existence de tels que ...

[taladris]

Bonsoir

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Bon, comme l'a dit fderwalt, c'est clairement une application du TVI. Quitte à changer f(x) par f(x)-f(0), on peut supposer que f(0)=f(1)=0.

Si f(1/2)=0, il suffit de prendre c=0 ou c=1/2.

Si f(1/2) est non nul, posons g(c)=f(c+1/2)-f(c) pour tout c dans [0;1/2]. g est continue sur [0;1/2] et on a g(0)=f(1/2)-f(0)=f(1/2) et g(1/2)=-f(1/2).
Ainsi, g(0)g(1)<0 donc par application du TVI, il existe c tel que g(c)=0 i.e. f(c+1/2)=f(c).

c appartient à l'intervalle [0;1/2] (sinon f(c+1/2) n'a a priori aucune raison d'être défini)

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[MMu]

Excusez moi, erreur de rédaction .. .. Il faut lire : il existe tel que ..