Bonjour,
Voici un résultat que je sais démontrer en utilisant des outils dépassant un peu le programme de spé, mais je pense qu'on devrait pouvoir trouver une preuve utilisant seulement le programme de prépa, donc si quelqu'un a une idée :
Soit f une application C^1 de R^n dans R^n dont la différentielle est inversible en tout point et telle que ||f(x)|| tend versquand ||x|| tend vers
Merci,
BS
as-tu essayé avec la formule de la dérivée de l'inverse?
En fait il n'y a aucun problème pour appliquer le théorème d'inversion locale (je suppose que c'est à ça que tu fais référence), ni à montrer que f est surjective. C'est l'injectivité (qui est un problème global) qui est le point difficile.
après un survol à 10km de mon cours d'EDP, ca a pas l'air évident (champ de vecteurs et tout le tintouin)
M'est avis que si ia un th d'inv loc, c'est que le th d'inv glob est à faire au cas par cas
Bonjour.
J'en connais au moins 2 démonstrations, mais elles ne sont pas simples.
Pourrais-tu nous résumer ta démonstration que l'on puisse se situer ?
Ok, en fait ma démonstration passe parle fait que la fonction donne un revêtement de R^n sur R^n (inversion locale + propreté), donc est surjective. Mais la simple connexité de R^n impose que ce revêtement est trivial, et donc l'injectivité de la fonction.
Cependant ce raisonnement me semble un peu fastidieux à mettre en oeuvre à un niveau spé (je suis en recherche d'exercices de colle potentiels). Si on voulait le transposer directement on devrait redémontrer un résultat du type relèvement des homotopies. Le cas de R^n étant particulier je me dis qu'il doit exister un peu plus simple... Quelles sont tes méthodes ?
Ma première méthode est la même que la tienne.
Ma seconde ne fonctionne pas (désolé pour mon anonce) car elle nécessite des hypothèses plus fortes : en supposant que ta fonction est bijective au voisinage de l'infini, il suffisait d'utiliser la théorie du degré en topologie différentielle... Définitivement au delà du programme de spé.
En troisième proposition, voici un plan qui n'utilise que des notions de maths Spé (mais il faut vérifier qu'il marche) :
- On s'arragne d'abord pour des raisons pratiques pour que f envoie 0 sur 0.
- Puis on considère l'ensemble I des r>0 tels que il existe g : B(0,r)->R^n (attention, boule fermée) continue telle que f(g(x)) = x sur B(0,r).
- On montre qu'il est intervalle, non vide, ouvert et fermé dans ]0,+infini[.
- Pour cela, on a une propriété (P) : unicité des branches inverses (fonctions g telles que f(g(x))=x) définies sur un connexe, continues, et envoyant un point donné en un point. Preuve : argument de connexité.
- I non vide car f est un difféo au voisinage de 0.
- I intervalle par (P)
- I Ouvert : car f est un difféo local donc on l'étend localement (un petit coup de Borel-Lebesgue) et on utilise (P) pour montrer que l'on a bien associé une seule valeur à chaque point.
- I Fermé : propreté de f et toujours la même propriété d'unicité...
...
- On obtient donc I=]0,+infini[. Donc par (P) il existe une fonction g définie sur R^n, continue, telle que f(g(x))=0.
- Reste à prouver que g est surjective...
Tout ceci me fait penser que c'est faisable au niveau Spé, mais pas en colle.
Suite de la méthode 3 (pour g surjective) : un argument de connexité montre que f(g(x))=x sur R^n. On a donc l'inverse...
c'est quoi l'intérêt de la boule fermée? c'est pas f(g(x)) = x sur B(0,r) ouverte?Envoyé par hedron
sinon, dans http://www.les-mathematiques.net/a/a/f/node12.php3, dans le corollaire en bas de page, sans démonstration sic, on lit que f doit être supposée injective avant d'arriver à un C1diffglob, mais... sur un ouvert U. Cela ne répond pas à ta question puisque tu veux le résultat sur R^n et puisqu'une fonction definie sur V1UV2 peut être C1 sur V1UV2, de dérivée inversible sur V1UV2 et... non injective sur V1UV2
Le corollaire demande à travailler sur U, mais ce U peut-être une réunion d'ouverts, non?
par contre le fait qu'on travaille sur R^n (un ouvert unique et non une réunion) entraîne forcément que f est injective (intuitivement, dans R, cela se comprend: une fonction C1, de dérivée ne s'annulant pas, est injective. Je sais pas si l'analogie peut se faire dans R^n ...)
Bonjour.
j'aurai pu choisir des boules ouvertes au lieu de fermées : ça ne change que la rédaction de la démonstration.
En fait, je crois que cela provient du fait que l'espace d'arrivée R^n est simplement connexe. C'est une notion standard, mais néanmoins subtile, de topologie (topologie algébrique) : un ensemble est simplement connexe quand toute boucle dans cet ensemble peut être déformée de façon continue jusqu'à être réduite à un point. En dimension 2, un ouvert connexe de R^2 est simplement connexe quand il n'a pas de trou. En dimension plus grande c'est plus subtil.
Ah oui pas bête pour construire une section à la main, c'est le genre d'argument que j'attendais. Merci !
Ce ne serait pas plutôt g(f(x))=x ?
Oui
