diffeomorphisme

[invite84a62bd9]

bonjour,
je voudrais savoir ce qu'est un diffeomorphisme, et comment montrer qu'une application lineaire est un diffeomorphisme ?
merci de vos reponses.
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[Flyingsquirrel]

Bonjour,

Soient et deux ouverts, une application linéaire. On dit que est un difféomorphisme de dans si est injective et si et sa fonction réciproque sont différentiables respectivement sur et .

Pour montrer qu'une application est un difféomorphisme on utilise souvent le théorème d'inversion globale :
SI est injective et de classe sur , et si est différentiable sur U et sa différentielle est inversible alors est un difféomorphisme de sur .

[invite3f53d719]

Je vois pas très bien pourquoi f devrait être linéaire...

Le théorème d'inversion global ou local s'applique à f quelconque.

Pour montrer qu'une application linéaire est un difféomorphisme, il suffit de montrer qu'elle est inversible il me semble (en dimension finie en tout cas). En effet le caractère linéaire implique (toujours en dimension finie) le fait qu'elle soit C infini, et comme l'inverse est bien linéaire, on a bien un C infini difféomorphisme.

[invite22a185a6]

Bonjour,
en général pour montrer qu'une fonction est un diffeomorphisme on utilise bien le theoreme d'inversion (global,local) qui est valide pour f C1 dont la différentielle est inversible en au moins un point (theoreme local) il faut aussi que les espaces de depart et d'arrivée soient des Banach (je crois j ai toujours ete un cancre en géométrie diff).Pour le cas des applications linéaires (en dimension quelconque) il faut avant tout que f soit continue (ce n'est plus obligatoire en dimension infinie) f est alors différentiable et sa différentielle est f elle-même en tout point de l'ouvert de définition il suffit donc bien de monter que f est inversible,
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]