Diffeomorphisme et Changement de cartes...

[invitebea41c1b]

Salut!
J'ai une question a ceux qui connaissent des choses
en Geometrie Differentielle et RG.

Voila, est-ce qu'un diffeomorphisme sur un variete M
et equivalent a un changement de coordonnees?
Oui? Non?
Voici deux citations qui m'ont impeu fait douter:
1) "Lecture Notes on General Relativity" de Sean M. Carroll (
http://pancake.uchicago.edu/~carroll/notes/) P133

We are now in a position to explain the relationship between diffeomorphisms and coordinate
transformations. The relationship is that they are two different ways of doing precisely
the same thing. If you like, diffeomorphisms are “active coordinate transformations”, while
traditional coordinate transformations are “passive.”

2) "ESPACES FIBRES et CONNEXIONS" de Robert Coquereaux (http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/) P6

effectuer un changement de carte se traduit par un diffeomorphisme locale y(x) de Rn. par contre, un
diffeomorphisme de M est une notion globale qui se traduit elle aussi, apres choix de cartes, par un diffeomorphisme
local de Rn.
L'équivalence des points de vue "actifs" et "passifs" n'existe donc que pour Rn et il semble
preferable d'eviter cette terminologie.

Pour moi l'argumentation de Coquereaux est la plus logique (donc plus juste) mais ... d'un autre coté
un specialiste de la question dit le contraire !
Alors ??
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[invite4793db90]

Salut,

par curiosité, j'aimerais bien savoir ce que sont les traditional coordinate transformations.

Cordialement.

[invitebea41c1b]

Martini_bird,
ce que carroll veut dire par "traditional coordinate transformations." est "changement de coordonnees par changement de repere (carte)"

Cordialement.

[invite4793db90]

Donc les épithètes active et passive de Caroll correpondent à global et local pour les difféomorphismes de Coquereaux ?

Ce que je comprends : un difféomorphisme global implique des difféomorphismes locaux, l'inverse étant faux en général.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cfffd9d]

Bonjour,

Salut!
Voila, est-ce qu'un diffeomorphisme sur un variete M
et equivalent a un changement de coordonnees?
Oui? Non?

Clairement non, un changement de coordonnées est toujours une représentation de l'application identité sur M, pas d'un difféomorphisme quelconque.

Cordialement
Michel

[invitebea41c1b]

salut!

Clairement:

Une carte est une application : Xmu: M --> Rn
elle associe a chaque point de M sa "MUième" composante. c'est ce qu'on appelle un systeme de coordonnees.
Un changement de coordonnees est donc, une autre application Ymu: M -->Rn, on a definit une autre carte.

Les points de M sont restes fixes, le repere a change.

D'un autre cote soit F un diffeomorphisme de M dans M:
F: M --> M
Il "deplace les points sur M"

Les points de M changent!

La question est : Est-ce que pour tout Ymu il existe
F tel que Ymu=F*Xmu,
(l'operation * est le pullback).

Dans Rn c'est evident: on bouge le repere sans changer les points ou on change les points en gardant le repere fixe! (ex: si on desire faire tourner le repere d'un angle t,
les nouvelles coordonnees seront les meme que celle des points tournés de -t dans l'ancien systeme)

Voila!

merci.

[invite9cfffd9d]

Bonsoir,

La question est : Est-ce que pour tout Ymu il existe
F tel que Ymu=F*Xmu,
(l'operation * est le pullback).

Je ne sais pas ce que signifie "opération pullback", en français ca donne quoi ?

Cordialement
Michel

[invite9cfffd9d]

Re-bonsoir,

Après réflexion, j'ai réagi un peu rapidement pour ma première intervention; on peut effectivement définir un difféomorphisme F de M dans M telle que Ymu=Xmu * F (où * est la composition des applications), mais localement.

Cordialement
Michel

[invite9cfffd9d]

Bonjour Q-ALG,

Petite précision: ce que j'ai affirmé juste au-dessus est valable pour une variété sans bord.

En notant Ux le domaine de ta première carte et Uy celui de la seconde, on peut construire le difféomorphisme que je pense que tu cherches, localement, entre un voisinage d'un point p de Ux et d'un point q de Uy de la manière suivante:

Xmu(Ux) étant un ouvert de Rn il existe une boule ouverte Bx contenue dans Xmu(Ux) et de centre Xmu(p); de même il existe une boule ouverte By contenue dans Ymu(Uy) et de centre Ymu(q). Pour simplifier on peut choisir ces boules pour qu'elles aient le même rayon. Ces boules étant dans Rn, une translation de vecteur la différence des centres est un difféomorphisme indéfiniment différentiable entre Bx et By, ce qui définit le difféomorphisme F entre Xmu^-1(Bx), voisinage de p, et Ymu^-1(By), voisinage de q.

Est-ce que cela répond à ta question ?
Cordialement
Michel.

[invitebea41c1b]

Re-bonsoir,
on peut effectivement définir un difféomorphisme F de M dans M telle que Ymu=Xmu * F (où * est la composition des applications), mais localement.

Michel33,
Vous avez tout dit en disant : localement !
c'etai la mon probleme, les auteurs que j'ai cités n'ont pas eu l'idee de preciser explicitement de quoi ils parlent.
Apres votre message et qq recherches je crois que c'est la bonne reponse:
Le diffeomorphisme doit etre local! (ne sort pas de l'ouvert ou est definie la carte)

Merci Beaucoup pour votre generosité (et excuses pour le retard )

Amicalement.

[invité576543]

Bonsoir,

Je reprend sur ce fil, suite à deux mentions récentes par Rincevent de la différence entre invariance par difféomorphisme et les changements de coordonnées.

La différence m'échappe un peu, et je vais tenter de la réexprimer juste pour qu'on m'explique que ce n'est pas ça, et qu'on me pointe là où ça déjante!

Un changement du jeu de cartes ne change que la manière de traduire en nombres les points et directions de la variété (de l'espace-temps en RG), plus généralement tous les tenseurs. Dire que la RG est invariante par changement de cartes n'est pas une contrainte très forte, c'est juste reconnaître l'arbitraire des coordonnées, et demander que l'expression des lois physiques reconnaissent cet arbitraire. Le changement de carte ne doit changer que les nombres entrant dans les calculs permettant à un endroit donné de dire ou prédire des choses.

L'invariance par difféomorphisme parle de mise en correspondance de régions distinctes de la variété (de l'espace-temps). Si deux régions d'une certaine extension peuvent être mises en correspondance par un difféomorphisme, on peut transporter des propriétés de l'une à l'autre. Ces propriétés sont dites invariantes par le difféomorphisme.

L'invariance par difféomorphisme de la physique dit alors que les lois de la physique peuvent/doivent s'exprimer de manière qu'il existe une mise en correspondance par difféomorphisme de deux régions quelconques suffisamment petites de l'espace-temps, difféomorphisme qui transporte correctement les lois de l'une à l'autre. Les lois qui permettent de décrire ou de prédire dans la première région sont, transformées par le difféomorphisme, des lois qui permettent de décrire ou prédire dans la seconde région.

Cordialement,

[invite9cfffd9d]

Bonsoir,

Je peux essayer aussi de dire ce que j'en ai compris.

Un changement du jeu de cartes ne change que la manière de traduire en nombres les points et directions de la variété (de l'espace-temps en RG), plus généralement tous les tenseurs. Dire que la RG est invariante par changement de cartes n'est pas une contrainte très forte, c'est juste reconnaître l'arbitraire des coordonnées, et demander que l'expression des lois physiques reconnaissent cet arbitraire. Le changement de carte ne doit changer que les nombres entrant dans les calculs permettant à un endroit donné de dire ou prédire des choses.

Ça c'est effectivement contenu dans la forme tensorielle des équations, ce n'est que de la géométrie différentielle.

L'invariance par difféomorphisme parle de mise en correspondance de régions distinctes de la variété (de l'espace-temps). Si deux régions d'une certaine extension peuvent être mises en correspondance par un difféomorphisme, on peut transporter des propriétés de l'une à l'autre. Ces propriétés sont dites invariantes par le difféomorphisme.

L'invariance par difféomorphisme de la physique dit alors que les lois de la physique peuvent/doivent s'exprimer de manière qu'il existe une mise en correspondance par difféomorphisme de deux régions quelconques suffisamment petites de l'espace-temps, difféomorphisme qui transporte correctement les lois de l'une à l'autre. Les lois qui permettent de décrire ou de prédire dans la première région sont, transformées par le difféomorphisme, des lois qui permettent de décrire ou prédire dans la seconde région.

Par un tel difféomorphisme les cartes locales d'une région deviennent des cartes locales compatibles de l'autre; je comprend ici, comme toi, qu'il s'agit de l'expression de l'invariance des lois (par rapport à des transformations très générales).

Cordialement
Michel

[invitea29d1598]

les environs de la page 28 de cet article devraient vous intéresser :

http://arxiv.org/abs/gr-qc/9910079

[invité576543]

Bonjour,

Merci! Ca donne un bon éclairage sur le sujet. Mais, comme d'hab, ça soulève de nouvelles questions!

Rovelli parle de difféomorphisme étendu à tout l'espace-temps. C'est clairement contrafactuel, on n'imagine pas qu'il existe un difféomorphisme non trivial qui laisse invariant .

Il reste deux applications.

L'une est une variante de ce que j'essayais d'exprimer: si on prend deux régions distinctes de l'espace-temp B1 et B2, que l'on modélise (approximation) B1 plus un extérieur fictif, et B2 plus le même extérieur fictif, et qu'il existe un difféomorphisme entre les deux (le T de l'un donne le T de l'autre), alors les lois de la physique sont transportées à l'identique.

L'autre application est cette histoire de trou, une région de l'espace-temps où T serait nulle. Mais ça amène la question suivante: si on prend un univers complexe, T quelconque, nulle dans une région B, est-ce qu'il existe deux solutions g à la métrique qui ne diffère que dans B? Le papier laisse penser cela, mais c'est pour confirmation.

L'équation d'Einstein ne fixe que 10 des paramètres de la courbure. La différence entre les solutions est uniquement sur les 10 autres, le tenseur de Weyl, j'imagine?

Et si B n'est pas "vide", si T n'y est pas nulle, a-t-on encore des solutions identiques partout sauf dans B?

Enfin, une autre question. On voit écrit que la RG est une théorie de jauge. Est-ce que la jauge, c'est le tenseur de Weyl? Ou les simples changements de carte passifs?

Cordialement,

[invite9cfffd9d]

Bonsoir,

J'ai été un peu long car j'ai essayé de lire effectivement l'article, mais ce n'est pas de mon niveau de connaissances, et j'ai fini par aller directement à la page 28.

J'ai été un peu perturbé par la confusion assez nette, et pas très heureuse ici, entre difféomorphisme de la variété M sur elle-même (ou entre deux de ses parties, et en cela je rejoins tout à fait la remarque de mmy), et sa représentation à l'aide de cartes.

La notion de "difféomorphisme passif", qui est présentée comme un simple changement de coordonnées, fait évidemment référence à un difféomorphisme entre les images des cartes locales, c'est à dire entre deux ouverts de , auquel cas tous ces difféomorphisme sont la représentation d'un seul dans M, par ailleurs trivial puisqu'il s'agit de l'application identité.

En ce qui concerne le "difféomorphisme actif" c'est bien ce que j'en avais compris, la relation 73 identifiant les 2 tenseurs, mais je ne vois pas l'obligation de le définir globalement sur M; ça me semble d'ailleurs un peu douteux eu égard au caractère local de l'équation d'Einstein.

J'ai le sentiment qu'il serait préférable de supprimer carrément le terme "difféomorphisme passif" et d'éliminer le qualificatif "actif" à l'autre; sauf erreur de ma part c'est d'ailleurs un peu l'avis de Carrol.

Merci à Rincevent pour la référence.

Cordialement
Michel

[mariposa]

Bonsoir,

J'ai été un peu long car j'ai essayé de lire effectivement l'article, mais ce n'est pas de mon niveau de connaissances, et j'ai fini par aller directement à la page 28.

J'ai été un peu perturbé par la confusion assez nette, et pas très heureuse ici, entre difféomorphisme de la variété M sur elle-même (ou entre deux de ses parties, et en cela je rejoins tout à fait la remarque de mmy), et sa représentation à l'aide de cartes.

La notion de "difféomorphisme passif", qui est présentée comme un simple changement de coordonnées, fait évidemment référence à un difféomorphisme entre les images des cartes locales, c'est à dire entre deux ouverts de , auquel cas tous ces difféomorphisme sont la représentation d'un seul dans M, par ailleurs trivial puisqu'il s'agit de l'application identité.

En ce qui concerne le "difféomorphisme actif" c'est bien ce que j'en avais compris, la relation 73 identifiant les 2 tenseurs, mais je ne vois pas l'obligation de le définir globalement sur M; ça me semble d'ailleurs un peu douteux eu égard au caractère local de l'équation d'Einstein.

J'ai le sentiment qu'il serait préférable de supprimer carrément le terme "difféomorphisme passif" et d'éliminer le qualificatif "actif" à l'autre; sauf erreur de ma part c'est d'ailleurs un peu l'avis de Carrol.

Merci à Rincevent pour la référence.

Cordialement
Michel

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Bonjour à tous

Je ne suis pas spécialiste de cette chose, aussi voici que j'ai extrait du livre de math de NAKAHRA: Geometry Topology and Physics. Je le réécrit à ma manière:
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Qu'est-ce qu'un diffeomorphisme?
.
On considère 2 variétés M et N de dimension m et n.
On défini une application f: M vers N

Donc à p de M correspond f(p) de N
.
Maintenant si on choisit des cartes dans M et N on va pouvoir représenter f par des fonctions. Si ces dernières sont inversibles et infiniminent différentiables on dit que f est un diffemorphisme de M dans N.

Cas où M=N
.
D'abord l'ensemble des diffeomorphismes forment un groupe noté Diff(M).
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A- Point de vue actif
.
Si p et f(p) appartiennent à la même carte alors le diffeomorphisme est représenté par un changement de coordonnées.
.
B- point de vue passif
.
Si l'on a 2 cartes qui se recouvrent le même point p appartenant à l'intersection possède 2 coordonnées. Dans ce cas on parle de reparamétrisation.Diff[M) s'appelle alors le groupe de reparamétrisation.

Si j'ai bien compris les définitions sont inversées par rapport à Michel33

[invité576543]

Si j'ai bien compris les définitions sont inversées par rapport à Michel33

Bonjour,

Ca ne me donne pas cette impression.

Le problème que je vois dans ta présentation est la référence systématique aux cartes, ce qui rend la comparaison malaisée.

Le papier de Rovelli semble indiquer que la notion de difféomorphisme actif est totalement indépendante de tout choix de carte. C'est une fonction de la variété vers elle-même, en tant que telle. C'est une mise en rapport entre objets, sans s'occuper le moins du monde de leurs représentations par des nombres.

Alors que la notion de difféomorphisme passif est au contraire une notion liée aux cartes, aux systèmes de coordonnées, au représentations par des nombres. C'est une mise en rapport entre représentation, sans changement d'objet.

Enfin, c'est comme cela que je le comprend, et c'est élucidant, au sens que ça se rapproche (et même plus, c'est la même chose) de la distinction entre l'interprétation d'une équation tensorielle en terme de coordonnées (et ce qui va avec comme la notion d'énergie ou de temps), et l'interprétation en tant que relation entre objets, indépendamment de tout système de coordonnées.

Cordialement,

[invite9cfffd9d]

Bonjour Mariposa,

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Si j'ai bien compris les définitions sont inversées par rapport à Michel33

C'est exact, mais il ne s'agit pas de mes définitions, elles proviennent du papier cité par Rincevent. Si on tient à conserver absolument ces qualificatifs d'actif et passif, les définitions de ce papier me semblent plus logiques que celles que tu donnes ici.

Je répète que ce qu'on appelle changement de coordonnées n'est jamais que la fonction de transition entre les images de deux cartes locales de l'atlas qui définit la structure de variéte, cartes qui ont évidemment une intersection de leurs domaines non vide; si on considère toutes ces fonctions entre toutes les cartes de l'atlas dont les domaines contiennent un point donné P de la variété, on constate trivialement qu'elles sont toutes une représentation de la même application d'un voisinage de ce point P dans lui-même, application qui est l'identité; l'invariance d'un tenseur sous une telle transformation est évidente, c'est la définition même d'une variéte différentiable, il ne peut que rester identique à lui-même (identité), il n'y a donc qu'un difféomorphisme passif, trivial, est-ce la peine d'en parler ?

Par contre l'existence d'un difféomorphisme entre les voisinages de 2 points P et Q différents (1) ne permet pas de définir automatiquement un tenseur en Q à partir d'un tenseur donné en P, si on veut une telle invariance il faut la postuler et là, effectivement, on impose une contrainte nouvelle.

(1) on peut poser Q=P avec un difféomorphisme de préférence différent de cette fameuse identité.

Cordialement
Michel

[mariposa]

Bonjour,


Le problème que je vois dans ta présentation est la référence systématique aux cartes, ce qui rend la comparaison malaisée.

Le papier de Rovelli semble indiquer que la notion de difféomorphisme actif est totalement indépendante de tout choix de carte. C'est une fonction de la variété vers elle-même, en tant que telle. C'est une mise en rapport entre objets, sans s'occuper le moins du monde de leurs représentations par des nombres.

Je n'ai pas relu l'article de Rovelli, mais il semble que quelquechose de très basique ne va pas.
.
Il est clair qu'une application d'une variété sur elle-même existe indépendamment de toute représentation. On peut donc faire un certain nombre de raisonnements et de démonstration sans parler de représentation. par exemple constater que l'ensemble des applications forment un groupe.
.
Néanmoins le concept de variété est une généralisation de la notion de courbe et de surfaces à des dimensions arbitraires. C'est pourquoi on définit une variété:

"as a topological space which is homeomorphic to Rm locally".
.
C'est donc cette homeomorphie qui permet à la fois de définir et de manipuler les variétés.

.Donc si l'on a une application f sur une variété, celle-ci devient un diffeomorphisme seulement si la representation est infiniment dérivable et bijective. Donc en toute logique la notion de difféomorphisme est indisolublement lié à la notion de representation.
.
A suivre!

[invité576543]

Néanmoins le concept de variété est une généralisation de la notion de courbe et de surfaces à des dimensions arbitraires. C'est pourquoi on définit une variété:

"as a topological space which is homeomorphic to Rm locally".
.
C'est donc cette homeomorphie qui permet à la fois de définir et de manipuler les variétés.

.Donc si l'on a une application f sur une variété, celle-ci devient un diffeomorphisme seulement si la representation est infiniment dérivable et bijective.

Je sais bien. Mais n'est-il pas concevable que la définition citée, qui est une définition par l'exemple (en gros, "on ne sait pas bien dire ce qu'est une variété, mais R^m en est une, et il suffit de définir la notion de variété à partir de l'exemple"), ne soit qu'un pis-aller par rapport à quelque chose de plus fondamental?

S'il est possible, mais ça me dépasse, de définir une notion de différentiation qui ne passe pas par des coordonnées, on doit pouvoir définir une variété non pas par référence à R^m, mais par les opérations que l'on peut faire sur les éléments de la variété.

Donc en toute logique la notion de difféomorphisme est indisolublement lié à la notion de representation.

"La toute logique" n'est pas si claire, donc...

Cordialement,

[invite9cfffd9d]

Bonjour mmy,

Je sais bien. Mais n'est-il pas concevable que la définition citée, qui est une définition par l'exemple (en gros, "on ne sait pas bien dire ce qu'est une variété, mais R^m en est une, et il suffit de définir la notion de variété à partir de l'exemple"), ne soit qu'un pis-aller par rapport à quelque chose de plus fondamental?

Je ne vois pas bien ce qui serait plus fondamental: au départ on a un ensemble M de points, sans structure, comment définir ne serait-ce que la notion de continuité pour une fonction sans ajouter à M une topologie ? Si cet ensemble M ressemble localement à un espace topologique E connu, la technique de construction de variété permet très simplement de définir une topologie sur M à partir de celle de E, et la signification de ce type de transport de structure devient très forte lorsque la ressemblance locale entre M et E est un postulat de base.

S'il est possible, mais ça me dépasse, de définir une notion de différentiation qui ne passe pas par des coordonnées, on doit pouvoir définir une variété non pas par référence à R^m, mais par les opérations que l'on peut faire sur les éléments de la variété.

Même remarque que plus haut, pour définir une notion de différentiation il faut une structure qui le permette, ce qui est obtenu avec la notion de variété différentiable où la propriété pour une fonction d'être différentiable est intrinsèque.

Cordialement
Michel




"La toute logique" n'est pas si claire, donc...

Cordialement,[/QUOTE]

[mariposa]

J'ai donc relu attentivement Rovelli, je constate, contrairement à ce que j'ai écrit dans mon poste précédent, qu'il n'y a pas inversion entre diffeomorphisme passif et actif, et c'est tant mieux!
.
Par contre je ne suis pas sur de comprendre la "conclusion" en haut de la page 30, je cite:

"Passive diffeomorphism invariance is a property of the of the formulation of a dynamical theory , while active diffeomorphism is a property of the dynamical theory itself"

Est-ce que cela veut dire que l'essence de la RG est d'établir une relation entre les métriques de 2 points voisins (diffeomorphisme actif) alors que le diffeomorphisme passif est "secondaire" car contenant les conséquences d'un changement de coordonnées "banal?
.
Il considère que QED et QCD ne sont pas impliqués dans la transformation active. Pourquoi? Parceque la métrique est inchangée entre 2 points.

[invite8ef93ceb]

Je reprend sur ce fil, suite à deux mentions récentes par Rincevent de la différence entre invariance par difféomorphisme et les changements de coordonnées.

La différence m'échappe un peu...

Salut,

j'ai lu le fil en entier, mais j'ai fini par perdre de vue la question de départ.

Voici ma contribution qui, je l'espère, permettra d'aider à la compréhension.

Si f:M->M' est un difféomorphisme, les variétés M et M' sont dites difféomorphiques, c'est-à-dire que les variétés ont la même structure. En général, la structure est donnée par les systèmes de coordonnées, lesquels permettent de définir la notion de différentiabilité et d'application entre des variétés M et M'.

Dans le cas où M et M' sont difféomorphiques, ont les considèrent en général comme étant la même variété. Mais ce n'est pas parce que M et M' sont considérés comme la même variétés qu'elles ont exactement toutes les mêmes propriétés (donnés, par exemple, par les tenseurs en un point donné). Ça veut seulement dire qu'il est possible de déformer M pour obtenir M'.

Maintenant, pour discuter de la forme d'une variété, on a besoin d'introduire beaucoup de concepts... Mais en gros (si j'ai bien compris ce que j'ai appris), si M est invariant sous une application f (difféomorphisme) qui déforme M en M', alors M=M' est dite invariante sous le difféomorphisme f. En relativité générale, f pourait prendre une variété plate M et la transformer en une variété courbe M', quoi que la variété conserve la même structure.

D'autre part, pour savoir ce qu'est un changement de carte, il faut savoir ce que c'est une carte. On obtient une carte en prenant un ensemble de points U de M et en l'envoyant vers un ensemble de points U' de Rn. Par exemple, la projection stéréographique h qui envoie l'ensemble U des points de la surface d'une sphère -sauf un pôle- vers un ensemble de points U' d'un plan 2D. Si on a une autre projection stéréographique h' qui prend V de la surface de la sphère pour l'envoyer vers V' du plan, alors on peut définir un changement de carte DANS Rn, qui nous fait passer de U' à V' : c'est ça un changement de carte.

Donc, l'invariance par difféomorphisme f permet, par exemple, de prendre une variété M et de la déformer en M', de façon à ce que la variété conserve la même structure. Si une théorie décrit la nature en terme d'un espace-temps M et d'un champ tensoriel T définit sur M, alors si f:M->M' est un difféomorphisme, on a des solutions sur M et N qui ont les même propriétés physiques. Les difféomorphismes comprennent la liberté de jauge de n'importe quelle théorie formulée en terme de champs tensoriels sur une variété espace-temps.

Cette vision du difféomorphisme n'a jamais fait l'introduction de systèmes de coordonnées, c'est le point de vue ACTIF, qui associe avec f une application qui envoit les tenseurs au point p vers les tenseurs au point f(p) (la déformation en p). Mais si on avait donné un système de coordonnées couvrant un voisinage U d'un point p de M, et un système de coordonnées couvrant un voisinage V d'un point f(p) de M', on aurait pu suivre le point de vue PASSIF. On utilise alors f pour définir un nouveau système de coordonnées dans le voisinage de p en posant pour . On verrait alors l'effet de f comme laissant p et tous les tenseurs en p inchangés, mais induisant la transformation de coordonnées (laquelle donne l'impression d'une déformation en déformant le système de coordonnées utilisé).

Mes infos là dessus proviennent toujours des excellents livres de Wald (aller aux pages qui réfèrent à diffeomorphism dans l'index pour retrouver en gros ce que je rapporte ici) et de Straumann.

J'espère que ça peut aider...

Cordialement,

Simon

[invite9cfffd9d]

Bonsoir,

Je suis globalement d'accord avec ce que tu écris, bien que ce soit un peu en vrac, mais j'aimerais quand même faire quelques remarques en m'appuyant sur un petit dessin qui illustre à peu près la situation que tu exposes .

Je considère donc une application d'un voisinage d'un point vers un voisinage du point dans la variété modelée sur et 2 cartes locales et dont les domaines contiennent respectivement les points et ; je suppose en plus que , ce qu'on peut toujours obtenir si est continue. La fonction de dans est la repésentation locale de à l'aide de ces 2 cartes; ce sont les propriétés de cette représentation locale qui, si elles ne dépendent pas d'un couple de cartes particulier, deviennent des propriétés de la fonction elle-même, c'est le cas de la notion de différentiabilité.

Cette vision du difféomorphisme n'a jamais fait l'introduction de systèmes de coordonnées, c'est le point de vue ACTIF, qui associe avec f une application qui envoit les tenseurs au point p vers les tenseurs au point f(p) (la déformation en p).

C'est effectivement la signification intéressante du difféomorphisme dont la différentielle crée une relation entre les espaces et des vecteurs tangents au-dessus des domaines et . Dire qu'il n'y a aucune référence à un système de coordonnées est cependant un peu osé car la notion de différentiabilité passe par celle de l'ensemble des représentations locales, mais il est vrai qu'il n'est pas vraiment nécessaire de travailler "en coordonnées", c'est d'ailleurs plus clair.

Mais si on avait donné un système de coordonnées couvrant un voisinage U d'un point p de M, et un système de coordonnées couvrant un voisinage V d'un point f(p) de M', on aurait pu suivre le point de vue PASSIF. On utilise alors f pour définir un nouveau système de coordonnées dans le voisinage de p en posant pour . On verrait alors l'effet de f comme laissant p et tous les tenseurs en p inchangés, mais induisant la transformation de coordonnées (laquelle donne l'impression d'une déformation en déformant le système de coordonnées utilisé).

Je veux insister sur l'inutilité de cette notion de difféomorphisme passif, considéré comme créant une nouvelle carte; si on note on obtient effectivement une nouvelle carte qui, si la fonction de changement de carte est de classe au moins celle de la variété, est compatible avec les autres et donc appartient à l'atlas maximal qui définit la variété. Autrement dit ce difféomorphisme passif apporte quelque chose qu'on a déjà, c'est-à-dire n'apporte rien.
Rectification: il apporte pas mal de confusion dans la tête des gens.

Cordialement
Michel

[invité576543]

Autrement dit ce difféomorphisme passif apporte quelque chose qu'on a déjà, c'est-à-dire n'apporte rien.
Rectification: il apporte pas mal de confusion dans la tête des gens.

Bonjour,

Mais le groupe de Lorentz, qui est à la base des présentations de la relativité restreinte, me semble bien être l'exemple élémentaire de ces difféomorphismes passifs.

Les deux représentations du monde faites par deux observateurs au même point-moment mais non immobiles l'un par rapport à l'autre sont bien les représentations d'un même monde. Le passage d'une représentation à l'autre est donc bien une forme d'identité.

N'empêche que le groupe de Lorentz est la première chose qu'on apprend dans ce domaine... Ca apporte quelque chose, en fait. Et c'est lié au temps. Les difféomorphismes passifs changent la notion de temps, parce que le temps est une notion liée aux coordonnées, pas à la variété.

Remarque, il est clair que ça apporte pas mal de confusion chez pas mal de gens!

Cordialement,

[invite9cfffd9d]

Bonjour mmy,
Avant de te répondre je vais compléter ce que j'ai raconté plus haut car j'en ai oublié un bout: l'application de la nouvelle carte peut aussi s'écrire et, en renommant en , difféomorphisme local dans dont la donnée seule suffit, on fait purement et simplement disparaître, et , et la carte avec aussi le point où on n'a rien défini de particulier.

Mais le groupe de Lorentz, qui est à la base des présentations de la relativité restreinte, me semble bien être l'exemple élémentaire de ces difféomorphismes passifs.

Oui, au voisinage d'un point ça correspond à un changement de carte, mais l'invariance des lois est automatiquement assurée dans ce contexte par leur forme tensorielle (on est en relativité générale).

Cordialement
Michel

[invité576543]

Oui, au voisinage d'un point ça correspond à un changement de carte, mais l'invariance des lois est automatiquement assurée dans ce contexte par leur forme tensorielle (on est en relativité générale).

Exprimé comme cela, c'est vrai pour tout changement de carte! Et c'est bien là que la notion de difféomorphisme passif n'amène pas grand chose. En fait, une seule, les lois doivent être exprimées sous forme tensorielles. Ce n'est pas vraiment une propriété de l'univers, juste une "règle de bonne conduite", une règle permettant de ne pas mélanger lois et représentations.

L'invariance par difféomorphisme "actif" semble être d'une toute autre nature.

Tout ça n'est qu'une reformulation de ce que je lis (crois lire) dans le papier de Rovelli cité par Rincevent.

Cordialement,

[invite9cfffd9d]

Tout ça n'est qu'une reformulation de ce que je lis (crois lire) dans le papier de Rovelli cité par Rincevent.

Tu as bien lu.

Michel