Salut à tous
Je bloque sur le développement limité de arctan(1/(1-x)) en 0.
Une fois qu'on a fait le DL de 1/(1-x), on se retrouve avec arctan (1+x+x²+...), et là je vois pas comment faire son DL en 0.
J'ai essayé de chercher des relations du tye arctan(a+b) = ..., mais sans succès.
Merci
On peut trouver un DL de arctan en se souvenant que arctan est la primitive de ...
C'est pas le DL de arctan qui me pose problème, c'est le fait de devoir faire le DL au voisinage de 0 d'un truc qui tend vers 1
Et bien pour calculer un DL en 0 de ton truc, tu pourras se servir d'un DL en 1 de arctan, ou un DL en 0 de arctan(1+x).
D'accord, donc on a
Mais si on veut faire le DL de arctan(1+x+x²+...), on s'y prend comment?
On pose u=x+x²+...et on utilise ta formule pour arctan(1+u)
NB : le plus simple pour le DL d'arctan(1/(1-x)) aurait sans doute été de se rappeler que :
arctan(x)+arctan(1/x)=presque_constante
Cela revient toujours au DL d'arctan(1+u)...
mais avec un u bien plus simple pour un calcul pratique
Ah c'était pas bien compliqué finalement, merci!
Ca veut dire quoi presque_constante ? Je ne savais pas à propos de cette égalité.
La presque constante vautquand x est négatif, et
Démo possible : dérivée égale à 0.
autre démo possible : Partir de la formule d'addition de la tangente.
Puisqu'il faut faire le DL en 1, on a :
arctg(1+u)=arctg(1)+u.arctg'(1 )+u2.arctg''(1)/2!+...
On va le faire à l'ordre 3 :
arctg(1)=π/4
arctg'(1)=1/2
arctg''(1)=–1/2
arctg'''(1)=1/2
(sauf erreur de calcul...)
arctg(1+u)=π/4+u/2–u2/4+u3/12+o(u3)
avec u=x+x2+x3+o(x3) donc u2=x2+2x3+o(x3) et u3=x3+o(x3)
Il ne reste plus qu'à remplacer.
On pouvait bien sûr l'avoir plus rapidement avec :
arctg(1/1–x)=π/2–arctg(1–x)
et arctg(1–x)=π/4–x/2–x2/4–x3/12+o(x3)
(voir message précédent en remplaçant u par –x)
Donc arctg(1/1–x)=π/4+x/2+x2/4+x3/12+o(x3)
