DL de arctan(1/(1-x))
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DL de arctan(1/(1-x))



  1. #1
    invitee53284f6

    DL de arctan(1/(1-x))


    ------

    Salut à tous

    Je bloque sur le développement limité de arctan(1/(1-x)) en 0.

    Une fois qu'on a fait le DL de 1/(1-x), on se retrouve avec arctan (1+x+x²+...), et là je vois pas comment faire son DL en 0.
    J'ai essayé de chercher des relations du tye arctan(a+b) = ..., mais sans succès.

    Merci

    -----

  2. #2
    Thorin

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    On peut trouver un DL de arctan en se souvenant que arctan est la primitive de ...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  3. #3
    invitee53284f6

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    C'est pas le DL de arctan qui me pose problème, c'est le fait de devoir faire le DL au voisinage de 0 d'un truc qui tend vers 1

  4. #4
    Thorin

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    Et bien pour calculer un DL en 0 de ton truc, tu pourras se servir d'un DL en 1 de arctan, ou un DL en 0 de arctan(1+x).
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitee53284f6

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    D'accord, donc on a
    Mais si on veut faire le DL de arctan(1+x+x²+...), on s'y prend comment?

  7. #6
    ericcc

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    On pose u=x+x²+...et on utilise ta formule pour arctan(1+u)

  8. #7
    Thorin

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    NB : le plus simple pour le DL d'arctan(1/(1-x)) aurait sans doute été de se rappeler que :
    arctan(x)+arctan(1/x)=presque_constante
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  9. #8
    ericcc

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    Cela revient toujours au DL d'arctan(1+u)...

  10. #9
    Thorin

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    mais avec un u bien plus simple pour un calcul pratique
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  11. #10
    invitee53284f6

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    Ah c'était pas bien compliqué finalement, merci!

  12. #11
    invitebd020be0

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    Ca veut dire quoi presque_constante ? Je ne savais pas à propos de cette égalité.

  13. #12
    Thorin

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    La presque constante vaut quand x est négatif, et quand x est positif.

    Démo possible : dérivée égale à 0.
    autre démo possible : Partir de la formule d'addition de la tangente.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  14. #13
    breukin

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    Puisqu'il faut faire le DL en 1, on a :

    arctg(1+u)=arctg(1)+u.arctg'(1 )+u2.arctg''(1)/2!+...

    On va le faire à l'ordre 3 :
    arctg(1)=π/4
    arctg'(1)=1/2
    arctg''(1)=–1/2
    arctg'''(1)=1/2
    (sauf erreur de calcul...)

    arctg(1+u)=π/4+u/2–u2/4+u3/12+o(u3)
    avec u=x+x2+x3+o(x3) donc u2=x2+2x3+o(x3) et u3=x3+o(x3)

    Il ne reste plus qu'à remplacer.

  15. #14
    breukin

    Re : DL de arctan(1/(1-x))

    On pouvait bien sûr l'avoir plus rapidement avec :

    arctg(1/1–x)=π/2–arctg(1–x)
    et arctg(1–x)=π/4–x/2–x2/4–x3/12+o(x3)
    (voir message précédent en remplaçant u par –x)
    Donc arctg(1/1–x)=π/4+x/2+x2/4+x3/12+o(x3)

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