Générateurs de groupe

[neutrino éléctronique]

Bonsoir à tous,

Pourriez vous m'expliquer ce que sont les générateurs d'un groupe? Et comment peut-on les déterminer?

Merci par avance
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[invitebe0cd90e]

Deja ce ne sont pas "les" mais "des" generateurs, puisque ils ne sont pas uniquement determiné.

Ensuite, des generateurs g_i d'un groupe sont des elements du groupe tels que tout element du groupe puisse s'ecrire comme un produit des g_i ou de leurs inverses.

Il n'existe pas de methode generale pour les determiner, cela depend fortement du groupe en question et du contexte.

[taladris]

Il me semble (mais c'est à confirmer) que trouver une partie génératrice d'un groupe (à part prendre le groupe tout entier bien sûr) est un problème extrêmement difficile: un théorème affirme si ma mémoire est bonne qu'il n'existe pas d'algorithme qui, étant donné une partie d'un groupe, permet de dire si cette partie engendre le groupe ou non.

[GrisBleu]

Bonsoir à tous,

Pourriez vous m'expliquer ce que sont les générateurs d'un groupe? Et comment peut-on les déterminer?

Merci par avance

Salut tu parles peut etre des generateurs au sens suivant
- tu as un groupe G pouvant etre parametere par n nombres (un group qui est une variete de dimensioin n)
- En tant que variete, il a un espace tangent T en chaque point. Par exemple en 0
- Cet espace tangent est un espace vectoriel avec une base e1,...,en qui verifie une equation

- On peut definir une fonction exponentiel de cet espace tangent vers le groupe
. La loi du groupe est entierement definie par les

Les ei sont appeles generateur car ils "generent" le groupe par exponentiation.

Par exemple, soit une fonction de R dans R, lisse. Par un developement de TAylor, on a



Donc une translation est generee par la differentation.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Salut tu parles peut etre des generateurs au sens suivant
- tu as un groupe G pouvant etre parametere par n nombres (un group qui est une variete de dimensioin n)

J'aurais compris la question comme portant sur tous les groupes, finis, de Lie ou autre. Et vu l'âge, quitte à choisir, j'aurais plutôt penché vers les groupes finis, parce les générateurs d'un groupe de Lie, c'est un peu compliqué, non?

Cordialement,

[sebsheep]

Il me semble (mais c'est à confirmer) que trouver une partie génératrice d'un groupe (à part prendre le groupe tout entier bien sûr) est un problème extrêmement difficile: un théorème affirme si ma mémoire est bonne qu'il n'existe pas d'algorithme qui, étant donné une partie d'un groupe, permet de dire si cette partie engendre le groupe ou non.

Euh ... il me semble que c'est relativement simple de voir si un partie est génératrice ou pas, non? Si le groupe est fini du moins, le nombre de combinaisons entre les éléments de ta partie est fini (même s'il est très grand), on peut donc calculer toutes les combinaisons possibles et voir si cela recouvre le groupe en entier (algo un peu bourin, mais théoriquement, ca marche). Par contre si le groupe n'est pas fini ... je ne dis pas.

Pour répondre à neutrino électronique (wahou, un djeuns de 16 ans qui sait ce qu'est un groupe et un neutrino ), le plus simple est je pense de te donner un exemple.

Je pense que tu as déjà vu que (Z,+) forme un groupe. Eh bien je t'affirme que 1 est générateur de ce groupe. pourquoi?

Tout simplement parce que à partir de 1, son inverse par (+) : -1 et la loi (+), tu peux construire n'importe quel entier relatif. (cf le message #2)

Par exemple 0=1 + (-1);
2=1+1;
3= 1+1+1;
... etc
Par contre 2 n'est pas générateur. Comment fais tu pour avoir 1 à partir de 2,-2 et de l'addition ? moi je ne peux pas en tout cas

Si tu a déjà vu les groupes Z/nZ, tu peux aussi voir que est également générateur... ou que est générateur de Z/8Z, tout comme et , mais pas comme ou
C'est plus clair maintenant ou tu veux que je te mette à côté d'un anti-neutrino ?

[neutrino éléctronique]

Bonsoir,

merci beaucoup pour toutes vos explications, ça commence à s'éclaircir dans mon esprit

En fait à l'origine ça partait d'un problème plutôt physique: j'avais besoin de savoir quels générateurs pouvaient être ceux de U(1), sachant que , G étant le générateur. Ainsi je me suis dit: on doit avoir , soit . Mais 0 ne peut pas être un générateur non?

[invitebb921944]

Bonjour,
c'est quoi ?
Et c'est quoi et ?
Au passage, ta condition implique car est -périodique. ()

[neutrino éléctronique]

Salut,

U(1) est le groupe des nombres complexes de module 1.
correspond à l'état de vide.
correspond, d'après ce que j'ai lu, à une constante physique et aussi au paramètre du groupe de Lie (pourriez-vous m'expliquer ce que c'est?)
Ah oui en effet je n'y avais pas pensé, merci

[invité576543]

Bon, je retire ma remarque à Vlad, c'est bien les groupes de Lie qui étaient la cible.

Et je me permet de faire remarquer à N.E. que la notion de générateur n'est pas la même pour un groupe de Lie que pour un groupe fini (par exemple), et que le flou de la question entraîne des réponses dans des directions diverses, et une discussion cahotante.

Cordialement,

[neutrino éléctronique]

Excusez-moi pour le flou de ma question, je précise alors:

Qu'est-ce-qu'un générateur pour un groupe de Lie?

[invité576543]

Qu'est-ce-qu'un générateur pour un groupe de Lie?

Il me semble qu'on utilise le mot "générateur" pour un groupe de Lie uniquement pour dire que les éléments non nuls de l'algèbre de Lie du groupe sont les "générateurs infinitésimaux" de la partie connexe à l'identité du groupe lui-même. Non? Un ensemble générateur est alors une base de l'algèbre.

Des précisions mathématiques sont données par le message de Wlad, message #4. Si tu ne comprends pas son message, une possibilité serait de répondre au message #4 en indiquant les points difficiles.

Cordialement,

[neutrino éléctronique]

Il me semble qu'on utilise le mot "générateur" pour un groupe de Lie uniquement pour dire que les éléments non nuls de l'algèbre de Lie du groupe sont les "générateurs infinitésimaux" de la partie connexe à l'identité du groupe lui-même. Non? Un ensemble générateur est alors une base de l'algèbre.

Des précisions mathématiques sont données par le message de Wlad, message #4. Si tu ne comprends pas son message, une possibilité serait de répondre au message #4 en indiquant les points difficiles.

Cordialement,

Ok, merci

Salut tu parles peut etre des generateurs au sens suivant
- tu as un groupe G pouvant etre parametere par n nombres (un group qui est une variete de dimensioin n)
- En tant que variete, il a un espace tangent T en chaque point. Par exemple en 0
- Cet espace tangent est un espace vectoriel avec une base e1,...,en qui verifie une equation

- On peut definir une fonction exponentiel de cet espace tangent vers le groupe
. La loi du groupe est entierement definie par les

Les ei sont appeles generateur car ils "generent" le groupe par exponentiation.

Les générateurs sont alors les vecteurs de base de l'espace tangent?
Que représente V concrètement?

Par exemple, soit une fonction de R dans R, lisse. Par un developement de TAylor, on a



Donc une translation est generee par la differentation.

Comment passes tu de à ? Je ne vois pas trop ce que sont et là en fait...

[GrisBleu]

Salut

Les générateurs sont alors les vecteurs de base de l'espace tangent?
Que représente V concrètement?

Effectivement, les ei sont les vecteurs d'une base de l'espace tangent.
V est donc un vecteur quelconque de cet espace tangent. C'est a dire que V est le vecteur, vi ses composantes
De maniere generale, il y a plusieurs manieres de definir cet espace tangent. Intuitivement, V est la "derivee"
d'une courbe dans le groupe.
Attention, cet espace tangent n'est pas forcement inclus dans le groupe.

Comment passes tu de à ? Je ne vois pas trop ce que sont et là en fait...

Comme la theorie est quand meme difficile, je trouve cet exemple plutot sympa:
- On s'interesse a un groupe: celui des translations en 1D. Un membre T de ce groupe, de parametre h, transforme f->f(x) en Tf->f(x+h). C'est un groupe ou chaque element (T) peut se parametrer par un nombre (h).
- On pourrait chercher l'espace tangent et tout le reste, mais on peut faire ca plus vite avec des notions de terminales / L1:
l'exponentielle de z est definie par
Par un raccourci, rempace z par h d/dx

Attention, exp(h d/dx) n'est pas un nombre mais un operateur !
Ensuite, il y a un formule vue en L1 qui dit que, pour f infiniment derivable (et analytique, mais c'est un detail)

Donc, ca donne bien
Tf=exp(h d/dx) (f)

Tu as directement une expression ou
- e1 = d/dx (L'espace tangent est l'ensemble des derivees d'ordre 1)
- v1 = h
- V = h d/dx

C'est quand meme tres complique, mais cet exemple illustre plus facilement les choses
A bientot

[neutrino éléctronique]

Ok, merci beaucoup pour tes explications

Donc si je généralise, les générateurs d'un groupe sont toujours les vecteurs de base de l'espace tangent à ce groupe ?
Le nombre h est donc le paramètre du groupe? Est-ce la même notion qu'un paramètre d'un groupe de Lie?

Et si on change d'exemple, que l'on prend le groupe U(n) des matrices nxn unitaires, commet déterminer son espace tangent et ainsi des générateurs du groupe?

[GrisBleu]

Salut

Je suis loin d'etre un expert de la chose (et ai plutot bosse ca pour la physique) mais je crois que oui, les generateurs sont une base de l'espace tangent. En general, cet espace est calcule en un point particulier (0 ou Id) car on peut lier cet espace tangent a tous les espace tangent aux autres points assez facilement.

Pour des groupes plus generaux que les translations (je prend les isometries dans R3 par exemple) voila comment on fait en physique (je passe les histoires de cartes et tout le reste):
- on prend un chemin gamma (c est a dire une application de R dans le groupe) dans le groupe qui passe par l'element neutre I3. I.e. gamma:t -> O(3) et gamma(0)=Id
- on suppose le chemin differentiable en t=0, donc gamma(t)=Id+t Dgamma+...
- on regarde les proprietes de Dgamma. Ici gamma(t) gamma(t)T = gamma(t)T gamma(t)=Id (matrices orthogonales) donc (...) DgammaT=-Dgamma. Dgamma est donc antisymmetrique. Donc Dgamma est une combinaisons des matrices antisymmetriques sur R3. Cet espace est de dimensions 3: il y a 3 generateurs.
- Si je les nomme e1, e2 et e3, on voit (ca demande du calcul) que
exp(v1 e1 + .. + v3 e3) est une rotation. En fait les e1,..,e3 generent les rotations. Il faut aussi ajouter d'autres matrices (inversion d'axes entre autre) pour generer tout le groupe

Je ne sais pas trop si on peut conclure que O(3) est un groupe de Lie de dimension 3.

A bientot

[neutrino éléctronique]

Salut,

merci pour ces explications!

Mais tu as pris l'exemple de O(3), tu voulais parler de U(n) ou bien c'est le même procédé pour trouver les générateurs de ces deux groupes?

[GrisBleu]

Bonjour

A priori, ca doit etre le meme procede.
- on prend un chemin dns U(n), cad t->M(t) ou M(t) est dans U(n) pour t << 1 et M(0)=Id
- on developpe autour de t=0
M(t) = Id + t dM + ... (les ... sont negligeables devant t).
Cette ecriture est "pas tres rigoureuse" mais je la trouve intuitive (pas de carte, de variete, etc.)
- Comme M(t) est unitaire, tu as
<M(t)x|M(t)y>=<x|y> avec <.|.> le produit hermitien considere
- En remplacant M par son developement limite
<x|y> + t<dM x | y> + t <x|dM y> + .... = <x|y> (on neglige au dela du premier ordre)
- il est donc necessaire que dM = -dM* (ou * est l'adjoint). Dans le cas reel, ca signifie bien dM antisymmetrique.

Dans Mn(C), il y a une base des matrices dont l'adjoint est l'oppose et cette base seront tes generateurs.
Par contre, je pense que comme dans le cas de O(3), reciproquement, tous les elements ne sont pas de la forme exp(V) (inversion et autres)

En general, c'Est bien traite dans les bouquins de physique sur la(les?) QFT

A bientot
Wlad

[neutrino éléctronique]

Salut,

D'accord, merci beaucoup pour tes explications

[barbyperry]

Bonjour a tous
J'arrive pas a comprendre comment on trouve les generateurs d'un ensemble?
exemple: quel sont les generateurs dans Z*11?

[Seirios]

Bonjour,

Déjà, les générateurs d'un ensemble, ça ne veut rien dire, on parle de générateurs d'un groupe. Ensuite, généralement on ne cherche pas les générateurs mais des générateurs. En l'occurrence, si ton groupe est bien (également noté ), tu dois savoir que c'est un groupe cyclique, donc tu peux trouver une partie génératrice à un seul élément. À moins que tu cherches l'ensemble des éléments du groupe qui l'engendrent ? Auquel cas tu peux les regarder un par un, et appliquer la définition.