Théorie des modules.

invite52487760 · 17/01/2009, 17h06

Bonjour :
Voiçi un Théorème de mon cours sur les modules que je comprends pas la démonstration ! Vueillez m'aider, et merci mille fois !
Théorème :
Soit $\text{[math]}$ un anneau et $\text{[math]}$ une famille de $\text{[math]}$ modules.
Pour tout $\text{[math]}$ module $\text{[math]}$ , et toute famille $\text{[math]}$ de mrophismes : $\text{[math]}$ , il existe un unique morphisme $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
Démonstration :
Posons : $\text{[math]}$
Montrons que : $\text{[math]}$ est un homomorphisme de $\text{[math]}$ modules.
$\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
Supposons que : $\text{[math]}$ verifie $\text{[math]}$ .
Alors si : $\text{[math]}$ , on a nacessairement : $\text{[math]}$ .
ce qui montre que $\text{[math]}$ est unique.
Question :
J'arrive pas encore à comprendre le passage où il est dit que $\text{[math]}$ est unique ! Quelle propriété a-t-on utilisé pour montrer l'unicité de $\text{[math]}$ ?
Merci infiniment !

**God's Breath** · 17/01/2009, 17h27

Il suffit de changer les notations :

Supposons qu'il existe un morphisme $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .

Alors si l'on note, pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , on a, pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
Donc , pour tout $\text{[math]}$ , on $\text{[math]}$ , ce qui prouve bien l'unicité de $\text{[math]}$ .

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