Théorie des modules !

invitecbade190 · 01/02/2009, 20h17

Bonjour :
J'ai un problème avec un théorème que je saisis encore pas bien dans ma tête, le voiçi ( je vous donne juste le résumé de ce théorème ):
Théorème :
Soient : $\ A$ un anneau, et $\ S$ une parite multiplicative de $\ A$ .
Soit : $\ f \hspace{2cm} : \hspace{2cm} M \longrightarrow N$ un homomorphisme de $\ A-$ modules.
Supposons : $\ \forall s \in S$ : $\ \mu_{s}\hspace{2cm} : \hspace{2cm} N \longrightarrow N$ ( homomorphisme ) tel que : $\ \mu_{s}(n) = s.n$ est un isomorphisme.
Alors : $\ \exists ! \varphi \hspace{2cm} : \hspace{2cm} S^{-1}M \longrightarrow N$ : homomorphismes de : $\ A-$ modules tel que : $\ \forall m \in M$ : $\ \overline{f} (m/1) = f(m)$
avec : $\ \overline{f} \hspace{2cm} : \hspace{2cm} S^{-1}M \longrightarrow S^{-1}N$ l'homomorphisme induit par $\ f$ .
Preuve :
Soit $\ \overline{f} \hspace{2cm} : \hspace{2cm} S^{-1}M \longrightarrow S^{-1}N$ l'homomorphisme induit par $\ f$ .
Soit : $\ i \hspace{2cm} : \hspace{2cm} N \longrightarrow S^{-1}N$ l'homomorphisme canonique.
$\ \varphi$ s'obtient depuis l'égalité : $\ \overline{f} = i \circ \varphi \hspace{2cm} : \hspace{2cm} S^{-1}M \longrightarrow N \longrightarrow S^{-1}N$
$\ i$ est un isomorphisme $\ \Longrightarrow \hspace{2cm} \varphi \hspace{2cm} = \hspace{2cm} i^{-1} \hspace{2cm} \circ \hspace{2cm} \overline{f} \hspace{2cm} \hspace{2cm} : \hspace{2cm} S^{-1}M \longrightarrow S^{-1}N \longrightarrow N$
Il suffit de le démontrer avec du calcul en verifiant que la formule : $\ \varphi(m/s) \hspace{2cm} = \hspace{2cm} \mu_{s}^{-1} \hspace{2cm} \circ \hspace{2cm} f(m)$ .
Question :
Quel lien y'a-t-il entre l'expression : $\ \varphi(m/s) = \mu_{s}^{-1} \hspace{2cm} \circ \hspace{2cm} f(m)$ et $\ \varphi \hspace{2cm} = \hspace{2cm} i^{-1} \hspace{2cm} \circ \hspace{2cm} \overline{f}$
Merci infiniment !

invitecbade190 · 01/02/2009, 22h12

Svp aidez moi !

Merci d'avance !

invite57a1e779 · 01/02/2009, 22h20

Envoyé par chentouf

Soit : $i \hspace{2cm} : \hspace{2cm} N \longrightarrow S^{-1}N$ l'homomorphisme canonique.
$i$ est un isomorphisme

Es-tu certain que $i$ est un isomorphisme ?

invitecbade190 · 02/02/2009, 01h10

Désolé, c'est une erreur que j'ai fait sans m'en rendre compte au départ ! tu peux supprimer le : $\ i$ de ce passage et garder le reste du message comme il est !
Merci d'avance de votre aide !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 02/02/2009, 01h55

Bonsoir "God's Breath" :

Envoyé par God's Breath

Es-tu certain que $i$ est un isomorphisme ?

Non, il n'y'a pas d'erreur ! $\ i$ est un isomorphisme !
Il y'a avant ce théorème un exercice surquel il fallait se pencher avant de passer à cette partie :
L'exercice dit ( Moi aussi je l'ai pas encore resout ) :
Soit : $\ A$ un anneau, $\ M$ un $\ A-$ module, et $\ S$ une partie multiplicative de $\ A$ .
Considèrons l'homomorphisme canoniqe : $\ i : M \longrightarrow S^{-1}M$ .
Montrer que :
$\ 1)$ Un élément $\ m$ appartient à $\ \ker i$ si et seulement si : il existe $\ s \in S$ tel que : $\ sm=0$ .
$\ 2)$ L'homomorphisme $\ i$ est un isomorphisme si et seulement si pour tout élément de $\ S$ , l'homomorphisme : $\ \mu_{s} : M \longrightarrow M$ telle que : $\ \mu_{s}(m) = sm$ est un isomorphisme !
Merci d'avance de votre aide !

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