Bimodule

[invitecbade190]

Bonjour :
Je suis à la rechrche d'un cours en ligne sur les bimodules, bimodules centraux, et si celà est possible, en format pdf !
Merci d'avance de votre aide !
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[invitecbade190]

Je cherche surtout à savoir pourquoi dans le cas d'une algèbre associaitive commutative : .Le bimodule : sur est un module tel que : :
Merci infiniment !

[invitebe0cd90e]

C'est plus precis comme question

Je ne crois pas que ca soit vrai : Si A est une algebre commutative (ou meme simplement un anneau commutatif), alors tout A-module M a gauche est automatiquement un A-bimodule en posant:



Mais du coup cette egalité est une definition de l'action a droite. Mais il me semble qu'il existe en general des A-bimodule qui ne verifient pas cette relation.

[invitecbade190]

Bonsoir "Jobhertz" :
Tu peux m'expliquer stp le passage suivant de mon cours d'algèbre commutative ? :
Un bimodule sur est à la fois un module à gauche et à droite tel que : .
Dans le cas d'une algèbre commtative, on parle souvent de module sur pour designer un bimodule qui satisfait en plus la propriété suivante : : .C'est quoi le role de la commutativité dans cet affaire ? Qu'est ce qu'elle fait la commutativité ici ?
Merci infiniment !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

En gros :

Tu pars d'un module à gauche sur A. Donc l'expression am a un sens.
Tu veux definir une action à droite de A sur M. Donc tu definis l'action à droite d'un element a sur un element m, qu'on note ma, comme etant egale a am.

Maintenant, fait agir un element ab sur m. Tu sais que tu dois avoir (definition d'un module à droite) m(ab)=(ma)b .

Or, par definition de ton action a droite, m(ab)=(ab)m=a(bm), et (ma)b=b(am).

donc on doit avoir b(am)=a(bm) pour tout a,b, ce qui est vai seulement si A est commutative.