Slt a tous, je bloque un peu sur une question qui me parait pourtant simple.....
on a f :
-une application linéaire de E dans F,
-dim(E)=n et dim(F)=p
- r est dans [1, inf (n,p)]
-rg(F)=r
-une base (Er+1, .....,En) de Ker(f) complétée en une base (E1,...,En) de E
et il faut montrer que (f(E1), ...., f(Er)) ets une base de Im(f) et la ca coince....
merci pour votre aide.
Bonsoir,
Alors décompose la preuve en deux étapes. A savoir : montrer d'abord que ta famille est génératrice puis libre.
Tu prend v dans Im(f), donc v admet un antécédent u par f et il existe a1,...,an dans K tels que u = a1*E1 + ... +an*En
Tu calcule ensuite l'image de ce u par f et te rappelant de la définition de la base tu devrais trouver que la famille est génératrice.
Après pour montrer que la famille est libre tu prend un r-uplet b1,...,br tels que b1*f(E1) + ... + br*f(Er) = 0 et tu utilises la linéarité de f... Je te laisse trouver la suite ^^
en fait génératrice c est pas la peine ici puisque rg(f)=r...
mais donc pour montrer qu elle est libre en gros j utilise le fait que a1*E1+......+ar*Er est dans ker(f)?apres on retrouve la base (E1,..,En) de E et ca marche
Oui tu utilise le fait que a1*E1+......+ar*Er est à la fois dans ker(f) et dans son complémentaire et vaut donc 0. Et tu conclu en remarquant que E1,...,Er est libre.
