pblm analyse

[inviteb7348d1c]

Bonjour
Je suis étudiant en L1 informatique et bien sur j'ai des cours d'analyse.
Toute fois j'ai beaucoup de mal avec cette matière qui est a mon gout beaucoup trop abstraite (je n'ai pas fait de maths depuis 2 ans et demis) j'ai donc plusieurs questions a vous posez :

Connaissez vous des sites me permettant d'avoir accès a des cours reprenant les connaissances depuis le début en les approndissant un maximum ?

Les questions suivantes sont a propos d'un exercice que je dois faire pour mardi prochain et pour lequel je suis dans le flou artistique le plus totale :

Voici donc l'énoncé de mon exercice :

Pour chacune des fonctions f : D ---> IR suivantes, montrer que lim(x->a) f(x) = f(a) pour tout a appartenant à D (on commencera par n'utiliser que la définition d'une limite) :

1) D = IR, f(x)=x^n (n appartenant à IN* donné); on pourra montrer d'abord l'identité :
x^n - y^n = (x-y)* (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k).

2) D = IR, f est un polynôme quelconque (on pourra déduire de la question précédente que, pour tout a appartenant à IR, il existe un polynôme g tel que f(x)-f(a) = (x-a)g(x) pour tout x appartenant a IR).


Pourriez vous s'il vous plait m'aider a la réalisation de cet exercice je sèche totalement...
D’ailleurs pourriez vous me dire qu'est se que l'identité dont on me parle dans la question 1 ?

Merci d'avance pour vos réponses
-----

[acx01b]

salut
l'identité remarquable ici c'est:



...

1) si tu écris
que peux tu en déduire comme égalité ?
et ensuite qu'est-ce que ça vaut quand x tend vers a ?

[inviteb7348d1c]

heu ouai merci ^^

bon j'ai pu un peu avancé dis moi s'que t'en pense mais je bloque sur la fin
voila donc se que je pense etre les 3/4 de la reponse a la question 1 :

D = IR, f(x)=x^n (n appartenant à IN*)
tout d'abord montrons que :
x^n - y^n = (x-y)* (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)

Les identité remarquables et la propriéte de distributivité de la multiplication sur l'addition fournissent des methodes elementaire de factorisation de polynomes. Grace a cela nous savons que :

quelque soit n>= 1 on a :
x^n - y^n = (x-y)(x^(n-1)+yx^(n-2)+...+y^k*x^(n-1-k)+...y^(n-1))
avec : x^n - y^n = P(x) et
(x^(n-1)+yx^(n-2)+...+y^k*x^(n-1-k)+...y^(n-1) = (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) = G(x)
on a donc P(x) = (x-y) Q(x)
L'identité est donc bien montrée.

Maintenant montrons que lim(x->a)f(x) = f(a)
on a f(x) = x^n
lim (x->a) f(x) = f(a)
si et seulement si quelque soit E>0, il existe V>0 tel que
0<|x-a|< V
on a alors :
|f(x)-f(a)| < E
soit E>0 ;
f(x) = x^n
f(a) = a^n
ce qui entraine que
|f(x)-f(a)| = |x^n-a^n|= ... = |x-a| |(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) |
et donc |f(x)-f(a)| <= (|x|-|a|) * |(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) |
or quelque soit x appartenant a ???

voila c'est la que je n'y arrive plus je ne sais pas comment determiner l'encadrement de x en fonction de a

(merci pour ta reponse rapide )

[acx01b]

tu poses ce que tu cherches
avec e > 0 :
| (x-a) (x^(n-1) + a.x^(n-2) + ... + a^(n-1) | < e
<=> |x-a | < e / | x^(n-1) + a.x^(n-2) + ... + a^(n-1) |

je penses que une fois que tu as ça tu as à peu près fini !

indice : trouve un bon majorant de | x^(n-1) + a.x^(n-2) + ... + a^(n-1) |

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7348d1c]

comment on calcul ce majorant justement !!! ^^

[inviteb7348d1c]

je pense avoir reussi dis moi stp si tu trouves des erreur quelque part :

D = IR, f(x)=x^n (n appartenant à IN*)
tout d'abord montrons que :
x^n - y^n = (x-y)* (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)

Les identité remarquables et la propriéte de distributivité de la multiplication sur l'addition fournissent des methodes elementaire de factorisation de polynomes. Grace a cela nous savons que :

quelque soit n>= 1 on a :
x^n - y^n = (x-y)(x^(n-1)+yx^(n-2)+...+y^k*x^(n-1-k)+...y^(n-1))
avec : x^n - y^n = P(x) et
(x^(n-1)+yx^(n-2)+...+y^k*x^(n-1-k)+...y^(n-1) = (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) = G(x)
on a donc P(x) = (x-y) Q(x)
L'identité est donc bien montrée.

Maintenant montrons que lim(x->a)f(x) = f(a)
on a f(x) = x^n
lim (x->a) f(x) = f(a)
si et seulement si quelque soit E>0, il existe V>0 tel que
0<|x-a|< V
on a alors :
|f(x)-f(a)| < E
soit E>0 ;
f(x) = x^n
f(a) = a^n
ce qui entraine que
|f(x)-f(a)| = |x^n-a^n|= ... = |x-a| |(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) |
et donc |f(x)-f(a)| <= (|x|-|a|) * |(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) |
or quelque soit x appartenant a ]-2*|(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)+1 ; +2|(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) |+1)
on a |f(x)-f(a)|<= 2(x-a) (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)

donc dès que 0< |x-a| < E / (2 (x-a) (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k))
on a :
|f(x)- f(a)|< E

alors ça te semble bon ou pas ??? dis moi ou j'ai fait des betises stp