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inviteb3540c06 · 22/02/2009, 21h00

bonsoir ;

Soit E un $\text{[math]}$ -e.v et f un endomorphisme de E tel que $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .

on pose :

F={x $\text{[math]}$ E , f(x)= $\text{[math]}$ x }

G={x $\text{[math]}$ E , f(x)=- $\text{[math]}$ x }

Montrer que F et G sont des s.e.v supplémentaires de E.
si quelqu'un à une idée

merci
cdt

**Celestion** · 22/02/2009, 21h46

Bonsoir,
Connais-tu le polynôme minimal, le polynôme caractéristique ou le théorème de Cayley-Hamilton ?

invitebb921944 · 22/02/2009, 21h51

Bonjour, c'est une application directe du lemme des noyaux il me semble.

En fait, tout vient du fait que l'on a la relation :

$\text{[math]}$
Il est facile de vérifier que le premier terme est dans $\text{[math]}$ et le second dans $\text{[math]}$ .

inviteb3540c06 · 22/02/2009, 21h57

sachant que par la suite , on me demande d'exprimer f en fonction des projecteurs associés F et G , quelle est selon toi la meilleure stratégie à employer

cdt

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebb921944 · 22/02/2009, 22h38

Bin je pense que tu montres que l'intersection est nulle, ensuite tu utilises la relation $\text{[math]}$ (tu peux dire quand même que tu utilises Bezout -comme dans la démo du lemme des noyaux- pour la trouver parce que là ça fait un peu parachuté) pour montrer que tout vecteur $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ se décompose comme somme d'un vecteur de $\text{[math]}$ et d'un vecteur de $\text{[math]}$ .

Ensuite, tu notes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , tu appliques $\text{[math]}$ à la relation $\text{[math]}$ et tu exprimes $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Je suis peut-être complètement à coté de la plaque, je suis assez fatigué

.

inviteb3540c06 · 22/02/2009, 23h23

ok je vais essayé , on verra bien

.....

inviteb3540c06 · 23/02/2009, 09h25

et la Ganash que t'as

....

inviteb3540c06 · 23/02/2009, 14h40

ou alors

1) je montre que $\text{[math]}$ . L'inclusion $\text{[math]}$ est triviale.L'autre pas trés difficile , et on n'a pas besoin d'utiliser ici l'hypothèse $\text{[math]}$ .

2) je montre que $\text{[math]}$ .L'inclusion $\text{[math]}$ est triviale .Pour l'autre ,on peut faire une "analyse+synthèse" : soit $\text{[math]}$ et supposons $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . je calcule $\text{[math]}$
puis j'exprime $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Il restera à écrire la synthèse ......

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