symetrie

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

"F et G etantdes sous espaces vectoriels supplementaires de E on appelle symetrie par rapport a F parallelement à G l'application s de E dans E qui à x=x1+x2 ( x1 appartient à F et x2 appartient à G) associe x1-x2.

si l'on designe par p1 la projection sur F parallelement à G et par p2 la projection sur G parallelement à F alors s=p1-p2.s est donc un endomorphisme de E.

x appartient à ker s <--->x1-x2=0<--->x1=x2=0<--->x=0 donc ker s ={0} s est injectif.pour tout x appartient à E x=x1+x2=s(x1-x2) Im s=E . s est surjectif.une symetrie est donc un automorphisme de E."

premiere chose que je ne comprends pas: pourquoi s=p1-p2

deuxieme chose que je ne comprends pasourquoi pour tout x appartenant à E on a x=x1+x2=s(x1-x2) alor Im s =E et s est donc surjectif.

j'espere que vous pourrez m'aider car la je suis completement perdu


merci par avance.
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[inviteaf1870ed]

Par définition des projections, p1 est l'application qui à x associe x1 (avec les notations que tu as données), et p2 associe x2 à x.
Comme s=x1-x2, s=p1(x)-p2(x)=p1-p2 (x); et s=p1-p2

POur la surjectivité, on se sert du fait que F et G sont supplémentaires. Tout x s'écrit donc sous la forme x1+x2, mais s laisse F invariant, et transforme tout vecteur x2 de G en -x2 [vérifie cela]
Donc x1+x2=s(x1-x2) et s est surjective

[invite69d45bb4]

Par définition des projections, p1 est l'application qui à x associe x1 (avec les notations que tu as données), et p2 associe x2 à x.
Comme s=x1-x2, s=p1(x)-p2(x)=p1-p2 (x); et s=p1-p2

POur la surjectivité, on se sert du fait que F et G sont supplémentaires. Tout x s'écrit donc sous la forme x1+x2, mais s laisse F invariant, et transforme tout vecteur x2 de G en -x2 [vérifie cela]
Donc x1+x2=s(x1-x2) et s est surjective

je comprends pas pourquoi s laisse F invariant et pourquoi s transforme tout vecteur x2 de G en -x2.

[inviteaf1870ed]

Un vecteur x de E s'écrit x1+x2 où x2 appartient à G; si x est dans F, que vaut x2 ? que vaut alors s(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

et bien dans ce cas x2 vaut -x2 et s(x)=x1-x2.mais je ne comprends pas le passage de x=x1+x2 à x=x1+x2=s(x1-x2). c'est surtout le s(x1-x2) qui me pose probleme .je vois pas comment le faire intervenir.

[inviteaf1870ed]

Tu viens de montrer que F est invariant, et que tout élément x2 de G est transformé en -x2
donc x1+x2=s(x1-x2)
Tu peux aussi dire que, s étant une symétrie, s o s = Id. Alors puisque s(x)=x1-x2, sos(x)=x=s(x1-x2)

[invite69d45bb4]

donc si j'ai bien compris comme F est invariant et que tout element x2 de G est transformé en -x2 et que on a s(x)=x1-x2 alors on à:

x=x1+x2=s(x1-x2).

ai je raison?