Paramétrisatin axio-angulaire des rotations

[bendesarts]

Bonjour,

Il s'agit d'une petite question simple autour du produit vectoriel. Dans mon cours de méca, on étudit la rotation d'angle theta d'un vecteur a autour d'un vecteur unitaire e.

Pour la démo, on décompose le vecteur b par une composante sur e et une composante ntheta dans le plan (n, e^a) (cf pièce jointe)

Là ma question est toute bete. Je n'arrive plus à voir pourquoi e^a a la même norme que n car il faut bien çà si on veut décomposer ntheta dans (n,e^a)




Je vous remercie d'avance pour votre aide

Ben
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[acx01b]

salut

je n'ai pas bien compris tes notations,

si tu veux faire tourner a autour de e (unitaire) d'un angle théta, tu commences par poser a = an + at où an est colinéaire à e, et at est orthogonal à e

donc b = rot(a,e,theta) = an + rot(at,e,theta) = an + bt

ensuite pour faire tourner at autour de e, tu poses at = k.ex où ex (unitaire) est notre "axe des x", et ey (unitaire) est orthogonal à ex et à e, ey c'est notre "axe des y" : ex ^ ey = e ( e étant notre "axe des z" )

maintenant tu peux écrire : bt = k.(cos(theta).ex + sin(theta).ey)
on a déja at = k.ex, et on sait que comme at = k.ex est orthogonal à e,
e ^ at = e ^ k.ex = k.(ex ^ e) = k.ey, et donc bt = cos(theta).at + sin(theta). (e ^ at)

[sylvainc2]

Regarde ceci:
http://mathworld.wolfram.com/RotationFormula.html

Sur le cercle, tu veux savoir pourquoi la norme du vecteur NP = norme(r x n).

Premierement: r x n = ( ||r|| ||n|| sin(t) ) * u, ou u est un vecteur unitaire orthogonal à r et n (pas montré sur le dessin), et t est l'angle entre r et n (pas l'angle de rotation theta, un autre angle). Puisque n est unitaire:
||r x n|| = ||r|| sin(t)

Deuxiemement: NP = OP - ON = r - (r.n)n, ou r.n est le prod scalaire. La norme de (r.n)n, puisque n est unitaire, est:
||r||cos(t).
Puisque le triangle ONP est rectangle en N, onpeut se servir de Pythagore
||NP||^2 = || r ||^2 - (||r||cos(t))^2

On veut donc prouver que ||r x n ||^2 = ||NP||^2:
( ||r|| sin(t) )^2 = || r ||^2 - (||r||cos(t))^2

C'est tout simple. Je te laisse finir le reste.