Nombres complexes et rotations.

[invitebeb55539]

Bonsoir.

De mon faible niveau en maths et suite à une réflexion sur les nombres complexes, m'est venu que la réponse au problème que je vais vous poser pourrait m'aider dans ma compréhension des nombres imaginaires.

, lorsque je multiplie par j'obtiens une rotation de 90°. Quelle propriété devrait avoir pour quand multipliant par celui ci, on obtienne une rotation de ° ?

Ce qui m'intéresse c'est la démarche suivie pour trouver la propriété nécessaire à , qui associée à celui-ci permette la transformation voulue. J'espère que vous pourrez m'aider.

Merci pour votre attention.
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[mtheory]

Bonsoir,

Connais-tu la formule permettant de représenter un nombre complexe dans dans le plan comme un vecteur faisant un angle avec l'axe de x ?

[invitebeb55539]

Oui, la formule avec et .

[invitebeb55539]

Merci pour l'aide.

Je vois comment faire. En faite je voulais que tout comme n'ait qu'une seule dimension.
J'aimerai pouvoir définir un nouvel ensemble de nombre à 1 dimension porté par un droite qui formerait un angle de ° avec la droite qui porte l'ensemble .
De cette manière je pourrais définir un plan complexe sans passer par les nombres imaginaires.

N'est-ce pas possible ?

Merci, bonne continuation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

Oui, la formule avec et .

Bien, alors tu dois savoir aussi que tout nombre complexe z=a+i b peut se mettre sous la forme où est l'angle que fait la représentation vectorielle de ce nombre complexe avec l'axe des x ?

Avec bien sûr .

[invite88ef51f0]

Salut,

De cette manière je pourrais définir un plan complexe sans passer par les nombres imaginaires.

Non. L'ensemble des complexes sera toujours à deux dimensions par rapport à R. Ce que tu fais c'est juste un changement de base : au lieu de prendre des axes orthogonaux (l'axe des réels et l'axe des imaginaires purs), tu vas prendre des axes faisant un angle de 77°. Mis à part pour décrire les nombres complexes d'argument 77°, tu n'y gagne rien (au contraire...).

[invitebeb55539]

On a l'ensemble des réels comme première dimension, si on veut définir un plan il en faut donc une deuxième, distincte.

On a inventé les nombres imaginaires à partir des réels, ceux-ci sont portés par une droite perpendiculaire à la droite des réels, ce qui nous permet d'avoir une deuxième dimension pour définir un plan.

Pourrait-on inventer de nouveaux nombres, toujours en partant uniquement des réels, pour obtenir encore une nouvelle dimension, mais ce coup ci, formant un angle de 77° avec les réels ?

[invite88ef51f0]

Si tu fais ça, ton nombre ne sera qu'une combinaison d'un imaginaire et d'un réel (ce qu'on appelle un complexe). Tu n'auras rien de nouveau.

Pour avoir de nouveaux nombres, il faut augmenter le nombre de dimensions. Mais pour cela il faut abandonner des propriétés sympathiques. Par exemple, en abandonnant la commutativité (a.b=b.a), on peut définir un espace à 4 dimensions (par rapport à R) qui englobe les réels et les complexes : ce sont les quaternions.
On peut encore étendre en abandonnant d'autres propriétés (associativité, ...)

[invite35452583]

Bonjour,
je vais essayer de préciser la première partie aviaire.
On peut définir une structure comprenant la droite réelle et un nombre u qui dans une représentation dans un plan correpondrait à une rotation de 77°.
Mais cette représentation et la structure engendré correpondrait en tout point (sauf au niveau de la définition) à celles des complexes.
Sur un dessin, il suffit de placer le point sur la même droite que (Ou), ici O est l'origine, et situé sur l'horizontale y=0. ce point a vérifie Oa=sec(77).Ou. Puis de a on peut se translater vers la gauche de -cotan(77°)x1 pour arriver sur le popint correspondant à i. De même, à partir de 1 et de i on peut construire le point u.
Tout ce qui précède peut être délmontré de manière plus précise et rigoureuse.

En fait, même s'il y a plusieurs manières de construire les complexes. On a toute structure de dimension 2 (pour IR) à deux opérations + et x vérifiant les propriétés habituelles :
1)a+0=0+a=a
2)pour tout a il existe -a tel que a+(-a)=(-a)+a=0
3)a+(b+c)=(a+b)+c
4)a+b=b+a

5) ax1=1xa=a
6) pour tout a il existe tel que ax=xa=1
7)ax(bxc)=(axb)xc
8)axb=bxa

9) ax(b+c)=axb+axc

Petite précision sur la seconde partie :
Si on impose que IR est contenu dans la structure, que les éléments de cette structure ne sont définis que par un nombre fini de paramètres et qu'elle vérifie 1) à 9) alors notre structure est soit IR soit les complexes (donc de dimension 2).
En n'exigeant plus 8), on a une structure de plus : les quaternions (dimension 4)
En n'exigeant ni 8) ni 7) on a en plus les octaves de Cayley.
Puis plus rien ou alors avec une infinité de paramètres ou en prenant plus petit que IR (Q par exemple).

En espérant avoir été clair.

[invitebeb55539]

Les nouveaux nombres portés par la droite à 77° peuvent s'écrire sous forme complexe, en les définissant à partir des réels et des imaginaires.

Je pourrais définir de nouveaux axes et écrire mes réels sous une forme à deux dimensions.

Quand je définis un nouvel axe, je peux simplement caractériser celui-ci avec un vecteur unitaire, avec des composantes telles qu'il forme un angle de 77° avec les réels.

Mais dans tout ça, je pourrais écrire les imaginaires (ceux avec un ) sous une forme à deux dimensions, mais aussi sous une forme à une dimension (ex: 5, 6), de même pour mes réels.

Pourtant mes nouveaux nombres, eux, ne pourront s'écrire que sous forme à deux dimensions, le vecteur unitaire ayant deux dimensions.

Je voudrais pouvoir écrire mes nouveaux nombres sous forme x avec x réel, mais je ne vois pas comment définir ce à partir des réels, comme il a été fait pour , avec une seule dimension.

Merci pour tout.

[invite88ef51f0]

Le nombre que tu cherches, c'est (ou le pi/180 fait la conversion des degrés en radian), c'est-à-dire cos(77°)+isin(77°), ou encore le nombre tel que

Si tu remplace 77° par 90°, tu retrouves i.

[invitebeb55539]

Génial !
Je vais continuer à cogiter là dessus.

Bonne continuation.