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Premier entre eux...



  1. #1
    invite75213404

    Premier entre eux...


    ------

    J'ai un petit problème :
    Soit x et y deux entiers naturels premiers entre eux, S=x+y et P=xy
    1)Démontrer que x et S sont premiers entre eux et que y et S sont premiers entre eux.
    2)En déduire que S et P sont premiers entre eux.
    3)Démontrer que S et P sont de parités différentes (paire et impaire)
    Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    Hogoerwen'r

    Re : Premier entre eux...

    Bonjour,

    Montre nous que tu as cherché ... Où bloques tu ?

    Cordialement,
    Hogœrwen'r - ex-Yggdrasil-

  4. #3
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    C'est la deuxième partie d'un exercice, la première j'ai réussi, mais là je ne vois pas comment faire
    P.S. éxcusez moi pour la présentation rapide, désolé...

  5. #4
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    Je voulais appliquer l'égalité de Bezout, mais je ne sais pas comment l'utiliser dans le cas présent... Et je me trompe peut être de voie...

  6. #5
    Gwyddon

    Re : Premier entre eux...

    Pour la première, essaye de raisonner très simplement : si je prend d diviseur commun de x et S, que puis-je en déduire sur d ? En essayant bien sûr de se ramener à l'hypothèse de l'énoncé
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Pour la première, essaye de raisonner très simplement : si je prend d diviseur commun de x et S, que puis-je en déduire sur d ? En essayant bien sûr de se ramener à l'hypothèse de l'énoncé
    je dirais que d=1 mais je ne suis pas sur de moi et comment le prouver si c'était par miracle ça; j'ai vraiment besoin d'aide, j'ai cherché à résoudre ces questions pendant une heure et je n'ai toujours rien...
    Dernière modification par invite75213404 ; 13/12/2006 à 21h27.

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : Premier entre eux...

    Citation Envoyé par Matthieu Voir le message
    je dirais que d=1 mais je ne suis pas sur de moi ; j'ai vraiment besoin, j'ai cherché à résoudre ces questions pendant une heure et je n'ai toujours rien...
    Donne ton raisonnement complet, on va te dire ce que nous en pensons.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #8
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    je ne sais pas comment expliquer, d'ailleur je n'y comprend pas grand chose... pour moi si x^y=1 alors le diviseur commun de x+y et de x est 1, sauf si x+y est un multiple de x... et sauf si x et x+y sont paires... en gros je ne sais pas du tout. SVP aidez moi !!!

  12. #9
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    dans la prmière partie de l'exercice il fallait démontrer que si a^b=1 et a^c=1 alors a^bc=1, là je n'ai eu aucun problème, mais je ne vois pas le rapport avec la suite de mon problème, et donc c'est pourquoi j'ai besoin d'aide...

  13. #10
    Gwyddon

    Re : Premier entre eux...

    Si d|a, d|b, on a d|(xa+yb) pour tout (x,y) non ? Sers-toi de ça pour conclure (tu n'as besoin que de ça pour résoudre tout le problème).
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    Bonjour !
    D'accord, je vais éssayé d'utilisé cette relation, surtout s'il n'y a besoin que de ça.
    A bientôt.

  15. #12
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    Je viens d'éssayer, j'obtiens bien d divise (ax+by), mais comment démontrer que x^x+y sont premiers entre eux ? etc... SVP

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  17. #13
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    Je crois que je viens de trouver pour la première question, mais je ne suis pas sur de moi...
    d divise x et d divise y (on sait que d=1 car x et y premiers entre eux) donc d divise x+y :
    donc : xu + (x+y)v=1 avec {u,v}éléments Z²
    est ce ceci ???
    pour le reste je bloque
    donc x et S premiers entre eux, ont fait de la même manière pour y et S...

  18. #14
    homotopie

    Re : Premier entre eux...

    Bonjour,
    tu t'es convaincu que si d/a et d/b alors d/(ax+by) pour tout couple d'entiers (x,y).
    Il serait peut-être mieux de le récrire ainsi :
    si d/x et d/y alors d/(ax+by) pour tout couple d'entiers (a,b). c'est le même résultat mais avec des notations plus en adéquation avec le problème posé.
    Pour ta première question, tu veux montrer que x^S=1. Pour cela tu commences par considérer un entier d qui divise deux nombres, lesquels? Pour arriver à conclure tu vas utiliser que x^y=1 (c'est la seule hypothèse ou presque) il faut donc arriver à d divise x et y. Que d divise x est sans doute évident , reste à montrer que d divise y. tu dois pouvoir y arriver avec ce qui précède.

  19. #15
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    heu je ne comprend pas tout à fait bien pourrais tu m'expliquer autrement stp...

  20. #16
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    ai je compris ? si on choisit d divise x et d divise x+y (S), alors d divise x+y-x donc d divise y donc l'ensemble des diviseurs de x et de x+y est le même que ceux de x et de y, or x et y sont premiers entre eux donc d=1 donc x et x+y sont premiers entre eux et on fait pareil pour y et x+y...
    mais si cela se révélait vrai, ça ne résoud qu'une seule question...

  21. #17
    homotopie

    Re : Premier entre eux...

    Citation Envoyé par Matthieu Voir le message
    mais si cela se révélait vrai, ça ne résoud qu'une seule question...
    Oui c'est (presque ça). "Presque" car le seul résultat montré ici est l'ensemble des diviseurs de x et de x+y est inclus dans l'ensemble des diviseurs de x et de y. Mais :
    1) cela suffit car on arrive à d=1 (ou-1 si on accepte les négatifs)
    2) on peut montrer par le même type de raisonnement que l'on a bien égalité.

    Citation Envoyé par Matthieu Voir le message
    mais si cela se révélait vrai, ça ne résoud qu'une seule question...
    Je n'ai jamais dit le contraire mais une difficulté à la fois.

    Citation Envoyé par Matthieu Voir le message
    dans la prmière partie de l'exercice il fallait démontrer que si a^b=1 et a^c=1 alors a^bc=1, là je n'ai eu aucun problème, mais je ne vois pas le rapport avec la suite de mon problème, et donc c'est pourquoi j'ai besoin d'aide...
    Pour la 1ère question ça ne servait pas encore mais regarde pour la 2ème question.

    Pour la 3ème, ne pas chercher trop sophistiqué. x est pair ou impair, idem pour y ce qui fait a priori 4 cas, a posteriori 3 car le cas x et y pairs est impossible (à toi de dire pourquoi). Pour chacun de ces trois cas regarder la parité de S et celle de P puis vérifier qu'elles sont toujours distinctes.

  22. #18
    invite75213404

    Re : Premier entre eux...

    Je viens de finir l'exercice, merci quand même Homotopie, il y avait une autre partie où il fallait appliquer ce qu'on venait de trouver dans un cas particulier et ça colle ! donc c'est bon j'ai quand même réussi à venir à bout de cet exercice, grâce à vos pistes quand même, merci !
    Matthieu.

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