[exo] Nombres Premiers entre eux.

[invite9b6e0fb5]

Je suis en Term S spé Maths et je bloque sur un exercice type bac de 81.

Je vous donne le sujet de l'exercice.

1. Décomposer 319 en produit de facteur premiers.
2. Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour 3x + 5y et x + 2y
3
Résoudre dans N* le système:
(3a+5b)(a+2b)=1276
ab=2m

où m désigne le ppcm(a,b)

Pour la 1ere question, pas de problème, 319 = 11*29

Par contre pour la 2eme je bloque:
J'ai commencé par dire que pgcd(x,y)=1

et après je dis que x et y, 2 entiers naturels non nuls, donc leur pgcd, d, s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients entiers de x et y
Ainsi, ax + by =1
et en particulier, 3x+5y=1
et 1x+2y=1

Mais après je ne sais pas quoi faire, donc si vous pouviez m'éclairer la dessus. merci

Et pour la 3eme question, j'ai remarqué que 1276=4*319

et que a et b, correspondait à x et y des question précédentes. Donc peut on dire que d'après la formule, pcgd(a,b) * ppcm(a,b) = a*b , ab=2m donc d=2 ?

Merci de votre aide.

n0unours
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[matthias]

je dis que x et y, 2 entiers naturels non nuls, donc leur pgcd, d, s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients entiers de x et y
Ainsi, ax + by =1

oui, c'est la relation de Bezout.

et en particulier, 3x+5y=1
et 1x+2y=1

Non ça ne marche pas pour n'importe quels entiers !
Par exemple 2 et 3 sont premiers entre eux, mais 3x2+5x3 n'est pas égal à 1.

Par contre tu peux essayer de trouver, à partir de ax+by=1, une relation de la forme A(3x+5y) + B(x+2y) = 1, ce qui prouvera que 3x+5y et x+2y sont premiers entre eux.

[invite9b6e0fb5]

ok, je vais tester ça demain après la soirée.

Merci

[invite9b6e0fb5]

J'ai réussi à le faire en prenant ta méthode. Finalement c'était pas trop compliqué, mais je devais être guidé.

Merci beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]