Deux nombres premiers entre eux

[invite425270e0]

Bonsoir, j'ai encore un problème

On considère deux nombres permiers entre eux, a et b. Il faut ensuite montrer que a+b et ab sont premiers entre eux. J'ai une proposition, mais est-ce que je n'abuse pas un peu?

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Raisonnons par l'absurde, imagineons que a+b et ab ne sont pas premiers entre eux. Autrement dit, il existe un nombre d qui divise a+b et ab:
d|a+b et d|ab

On démontre que d|a et d|b:
on raisonne encore par l'absurde:
si d ne divise pas a, autrement dit, a et d premier entre eux, alors d'après le lemme de Gauss, d | b
Or si d|b comme d|a+b, d divise toute combinaison linéaire de a+b et b, entre autre d|a+b-b => d|a
Cela est absurde car on a une contradiction, on avait pris comme hypothèse que d ne divise pas a.

On fait de même pour b, ainsi on a d|a et d|b
Cela est absurde car a et b sont premiers entre eux

Conclusion: a+b et ab sont premiers entre eux.

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[invite7ffe9b6a]

si d ne divise pas a, autrement dit, a et d premier entre eux,

12 ne divise pas 16 et poutant 12 et 16 ne sont pas premier entre eux

en faite il faut dire d divise ab, a et b premier entre eux,
d ne divise pas a donc d divise b

[invite425270e0]

Erf ok :s mal parti alors
J'recommence

[invite7ffe9b6a]

ce que je vien de dire et faux je men suis rendu compte tout de suite mais je peux plus effacer sorry

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite425270e0]

en faite il faut dire d divise ab, a et b premier entre eux,
d ne divise pas a donc d divise b

tu veux dire que ça c'est faux?

[invite425270e0]

sinon:

si a et d premier entre eux, alors d'après le lemme de Gauss, d | b
Or si d|b comme d|a+b, d divise toute combinaison linéaire de a+b et b, entre autre d|a+b-b => d|a
Cela est absurde car on a une contradiction, on avait pris comme hypothèse que d et a premiers entre eux.

Pareil pour b... on arrive à la même conclusion ?

[invitebfd92313]

Dans la démonstration de ton premier post tu dis "si d ne divise pas a, autrement dit si a et b sont premiers entre eux".
Je pense que ceci est faux, car lorsque un nombre ne divise pas un autre, il n'est pas forcément premier avec lui.

[invite425270e0]

Oui justement je me suis corrigé dans le dernier post, en disant que si d et a premier entre eux, j'en arrive à d|a, ce qui reste absurde...

[invitebfd92313]

Oui en effet, ce que tu dis est correct, mais tu ne traites que le cas (d et a premiers entre eux) ou (d et b premiers entre eux).
Il reste le cas ou d n'est premiers ni avec a, ni avec b.

edit : tu me diras que c'est évident, mais je pense qu'il faut le mentionner quand meme ^^

[invite425270e0]

Euh justement, pas si évident que ça

[invitebfd92313]

Oui pardon, a y regarder de plus près c'est pas évident ^^

[invite1237a629]

Plop,

Je crois que j'ai trouvé ^^

Un indice pour les plus FLEMMARDS

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D'abord montrer que si a et b premiers entre eux, alors a et a+b premiers entre eux.
De même avec b et a+b

Deuxième indice

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Réciproque de Bézout, si on bidouille correctement

Démonstration totale

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Faut pas rêver

[invite425270e0]

Bon c'te fois je craque pas j'vais pas voir la réponse^^

j'ai rebidouiller ma démo du début, c'est correct cette fois?

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par l'absurde:
Supposons que a+b et ab non premiers, il existe alors d tel que:
d|a+b
d|ab

Montrons que dans ce cas, d|a et d|b:
si d|ab, alors il existe k, nombre premier, tel que k|ab (k étant dans la décomposition en facteur premier de d (si d premier, d=k)). Ainsi, k|ab et k|a+b
Propriété du cours: si k premier et k|ab alors k|a ou k|b
premier cas: k|a
k|a et k|a+b, donc k divise toute combinaison linéaire de a+b et a, entre autre k|a+b-a, k|b. Dans ce cas, k|a et k|b ce qui est absurde car a et b premier entre eux.

second cas: k|b
k|b et k|a+b, donc k divise toute combinaison linéaire de a+b et b, entre autre k|a+b-b, k|a. Dans ce cas, k|a et k|b ce qui est absurde car a et b premier entre eux.

conclusion: Il n'existe pas de d tel que d|a+b et d|ab donc ab et a+b sont premiers entre eux.

[invite1237a629]

ça me semble parfait ^^

Pour chipoter...en fait peut-être pas, mais ça me semble être un point important.
1 divise tout nombre. Donc ta conclusion est, littéralement, erronnée.

Pose au début d différent de 1 aussi, toujours pour la même raison.

[invite425270e0]

Ok, merci! Après une nuit de sommeil ça va mieux, notre cerveau doit analyser certains trucs lol ^^

J'vais voir ta démo..

[invite425270e0]

Lol t'as pas mis de démo ^^

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Utiliser la réciproque de Bézout? tu peux expliquer?

En attendant j'me lance dans la suite de l'exo

[invite1237a629]

Lol t'as pas mis de démo ^^

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Utiliser la réciproque de Bézout? tu peux expliquer?

En attendant j'me lance dans la suite de l'exo

La mienne est plus compliquée je trouve...j'aime la tienne ^^
Moi aimer toi, toi comprendre moi ?

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En fait, je me souviens plus comment j'ai montré que a et a+b étaient premiers entre eux...Ca ne doit pas être compliqué.

Ensuite, on en déduit : (a+b)u + av = 1
(a+b)u' + bv' = 1

Moultiplicatioun des équations membre à membre et on obtiendra (a+b)x + aby = 1
=> réciproque de Bézout


(en fait, je l'avais fait sur un brouillon, qui s'est retrouvé à la pubelle...)

[invite425270e0]

mdr

OK^^

Ouais pas bête ta méthode, mais plus longue

(lol faut pas jeter les brouillons moi ça fait un an j'les garde tous )

[invite1237a629]

Ui, beaucoup plus longue. Mais plus ça dure, mieux c'est


(j'suis déjà sortie)


Bah, pour les brouillons...j'en ai trop devant moi alors j'ai fait le ménage à un moment :/

[invite425270e0]

Lol, "plus ça dure, mieux c'est", quand y'a encore deux autres questions, on néglgige parfois la longueur; c'est disctutable à la fin

(moi j'les entasse dans un coin les brouillons, c'est dommage pour les jeter! pleins de beaux calculs lol ==> je sors aussi )

[invite425270e0]

Si pgcd(a,b)=1 et pgcd(b,c)=1 est-ce que pgcd(a,c)=1 ?

Autrement dit, si a et b premiers entre eux et b et c premiers entre eux, est-ceque a et c sont premiers entre eux?

[invitebfd92313]

pas forcément, 2 et 3 son premiers entre eux, 3 et 4 sont premiers entre eux, mais 2 et 4 ne sont pas premiers entre eux.

[invite425270e0]

vrai

j'essaye avec autre chose