[exo] Nombres premiers (bis)

[invite9b6e0fb5]

Term S, spé maths
Alors j'ai 2 autres exercices ou je suis spécialement bloqués
le 1er:

On considere la suite d'entiers définis pas:
U1=1!
Un=n! - U(n-1) (n-1 en indice...), pour n>=2
Pour n>=3, Un est il premier?
(la question ne se pose pas pour U1=1 et U2=1

Alors je voudrais juste savoir comment expliquer parceque, j'ai d'abord essayer par récurrence, mais je n'abouti pas car je me retrouve avec U(k+1)=(k*k)! + U(k-1)
Donc j'ai essayé en montrant que U3 = 5 mais U4=115 qui lui n'ai pas premiers mais est un produit de facteur premier
Donc a ce moment la pour n>=3, Un n'est pas premier?
Est-ce raison? Merci
Exercice 2

Dn = le plus petit entier supérieur ou égal à 1 qui ne divise pas n (n>=1)
1) Calculer Dn pour 1=<n=<10
2) Qules sont les entiers n pour lesquels:
a) Dn = 1
b) Dn = 2
3) Soit p un nombre premier (p différent de 2). On pose n= (p-1)!
Calculer Dn
PS: le n est toujours en indice a coté de D

pour le 1) Je fais
1 =< n =< 10
1 =< 3 =< 10 -> D3 = 2
1 =< 5 =< 10 -> D5 = 2
1 =< 7 =< 10 -> D7 = 2
Donc Dn = 2 pour 1 =< n =< 10
Est-ce bon?
2)a) Dn = 1
Aucun car si n premier, il admet comme diviseur 1 et lui-même, ce qui ne serait pas le cas car il n'aurait qu'un diviseur: 1
b) Dn=2
Tous les n premiers
3) totalement bloqué là ...
Est ce que ce que j'ai fait dans le 1/ et 2/ sont justes?
et pouvez vous me donner la matche a suivre pour résoudre le 3 (pas la solution juste la méthode a suivre)
Merci bcp.
-----

[matthias]

U3 = 5 mais U4=115

Tu es sûr de calcul de U4 ?
J'ai l'impression que tu as calculé 5! - U3 ici.

[invite9b6e0fb5]

oups, exact, ça me fosse tout...

U4 = 19 apres calcul, donc c'est un nombre premier

Mais dois je faire bcp de calcul (genre jusqu'a U20) ?

[matthias]

Je pense que même ta calculatrice ne saura pas calculer jusqu'à U20

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b6e0fb5]

Arf! A ce moment l&#224;, je dois trouver une ralation montrant que ce type de calcul donne toujours un nombre premier ?

[nissart7831]

Term S, spé maths
Exercice 2
pour le 1) Je fais
1 =< n =< 10
1 =< 3 =< 10 -> D3 = 2
1 =< 5 =< 10 -> D5 = 2
1 =< 7 =< 10 -> D7 = 2
Donc Dn = 2 pour 1 =< n =< 10
Est-ce bon?
2)a) Dn = 1
Aucun car si n premier, il admet comme diviseur 1 et lui-même, ce qui ne serait pas le cas car il n'aurait qu'un diviseur: 1
b) Dn=2
Tous les n premiers
3) totalement bloqué là ...
Est ce que ce que j'ai fait dans le 1/ et 2/ sont justes?
et pouvez vous me donner la matche a suivre pour résoudre le 3 (pas la solution juste la méthode a suivre)
Merci bcp.

Bonsoir,
pour la 1), je ne vois pas pourquoi tu fais ça. On te demande d'exprimer pour toutes les valeurs de n variant de 1 à 10. Pourquoi n'as tu pris que des valeurs impaires pour n ? Par exemple, peut se déterminer et est égal à 3. Il faut donc que tu fasses cela pour tout n de 1 à 10. Et pour n=1 et 2, qu'est ce que tu peux dire ?
Pour la 2) a) et 2) b), il faut que tu fasses correctement la question précédente. Au passage, dans la 2)a), je ne vois pas pourquoi tu parles de n premier. Cela n'apparait pas dans ton énoncé !

[nissart7831]

Quant à la question 3) (de ton 2ème exercice), pour que tu visualises la solution, prends toi des exemples et essaie de trouver pour les premiers nombres premiers. Puis en utilisant la définition de la factorielle, tu devrais pouvoir conclure.

[invite9b6e0fb5]

Hmm, d'accord.

donc cela donnerait pour le 1)

n=1 donne Dn=1
n=2 donne Dn=1
n=3 donne Dn=2
n=4 donne Dn=3
n=5 donne Dn=2
n=6 donne Dn=4
n=7 donne Dn=2
n=8 donne Dn=3
n=9 donne Dn=4
n=10 donne Dn=3

donc 2)a) , Solution: n=1 et n=2

2)b), solution: n=3, n=5, n=7

3)
p=3 donne n=2 donne Dn=1
p=5 donne n=24 donne Dn=1
n=7 donne n=720 donne Dn=1

??

[nissart7831]

Hmm, d'accord.

donc cela donnerait pour le 1)

n=1 donne Dn=1
n=2 donne Dn=1
n=3 donne Dn=2
n=4 donne Dn=3
n=5 donne Dn=2
n=6 donne Dn=4
n=7 donne Dn=2
n=8 donne Dn=3
n=9 donne Dn=4
n=10 donne Dn=3

??

Non pour D1 et D2. On te demande le plus petit entier supérieur ou égal à 1 qui ne divise pas n.

Erreur pour .

donc 2)a) , Solution: n=1 et n=2

2)b), solution: n=3, n=5, n=7

Non.
En refaisant correctement la 1), tu pourras corriger la 2)

3)
p=3 donne n=2 donne Dn=1
p=5 donne n=24 donne Dn=1
n=7 donne n=720 donne Dn=1

??

Non, doit être le plus petit entier qui ne divise pas n. Or 1 divise tout nombre entier !!!
De plus, je t'avais suggéré d'écrire ce que représentait la factorielle. Par exemple 4! = 2x3x4.
En faisant ça pour la 3) et en t'interrogeant sur les diviseurs de n et en utilisant le fait que p est premier, tu devrais trouver.

[invite636fa06b]

Bonjour,

Le problème 1 m'intrigue. La suite Un comprend beaucoup de premiers mais je ne vois pas de raison pour qu'ils le soient tous (à partir de n=3).
Quid de U9 ?
Toute lumière sur la question sera bienvenue Merci

[invite3f53d719]

Pour Zinia,

Il me semble (à confirmer...) qu'il n'existe pas de formule ne donnant que des nombres premiers, enfin sans constantes à l'intérieur qui contienne tous les nombres premiers dans ses décimales jenre 2,35711131719...

Eric

[matthias]

Le problème 1 m'intrigue. La suite Un comprend beaucoup de premiers mais je ne vois pas de raison pour qu'ils le soient tous (à partir de n=3).
Quid de U9 ?

Effectivement U9 n'est pas premier, il n'y a pas à chercher plus loin.

[erik]

Il me semble (à confirmer...) qu'il n'existe pas de formule ne donnant que des nombres premiers,

Si si il y'en a :

f(n) = 2 + (2n! mod(n+1)) donne tout les nombres premiers et uniquement des nombres premiers.
formule inutilisable à cause de la factorielle

L'ensemble des valeurs positives du polynome à 26 variables suivant, est égale à l'ensemble des nombres premiers (lorsque que les variables sont à valeur dans IN)
(k+2)×[1−(wz+h+j−q)²−(2n+p+q+z−e)²−(a ²y²−y²+1−x²)
−((e^4+2e³)(a+1)²+1−o²)²−(16(k +1)³(k+2)(n−1)²+1−f²)²
−(((a+u^4−u²a)²−1)(n+4dy)²+1−( x−cu)²)²−(ai+k+1−l−i)²
−((gk+2g+k+1)(h+j)+h−z)²−(16r² y^4(a²−1)+1−u²)²
−(p−m+l(a−n−1)+b(2an+2a−n²−2n− 2))²−(z−pm+pla−p²l+t(2ap−p²−1) )²
−(q−x+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p²−2p− 2))²−(a²l²−l²+1−m²)²−(n+l+v−y) ²]

Polynome inutilisable, car en prenant des valeurs au hasard pour les 26 variables, le polynome admet presque toujours une valeur négative. Et seules les valeurs positives sont des nombres premiers

[invite3f53d719]

Oui effectivement, après vérification, il n'existe aucune fonction POLYNOMIALE ne donnant que des nombres premiers...

[matthias]

C'est pas polynomiale à coefficients entiers ?