nombres premiers

[invite298f4897]

Bonjour à tous,

comment démontrer qu'il existe toujours un nombre premier entre un nombre et son double ?
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[invite298f4897]

merci pour vos réponses

[invite35452583]

Bonjour,
en comptant (majorant) le nombre de produits entre n+1 et 2n réalisés avec des nombres compris entre 1 et n. il me semble que cela fonctionne.

Cordialement

[martini_bird]

Salut,

c'est la conjecture de Bertrand. Tchebichev l'a démontrée en 1850 et Erdös en a donné une preuve plus simple (dans les années 40 je crois). Voir ici par exemple.

Ce n'est pas de tout repos quand même.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

La même en français sur : Wikipedia

[leg]

bonour .
peut on donc, résumer cette question directement à P et 2P ?( P premier.)

car si N, n'est pas premier et qu'il n'existe pas de premiers entre N et 2N , le produit de tous ces N jusqu'a 2N est divisible par P < N
et supposons que 2P est <= N il n'y aurait pas non plus de premier P', tel que: P<P'<N;
sinon 2P' finirait par être > N et si N-1 = P' il existe un premier P' entre P et 2P donc entre N et 2N.

[martini_bird]

Salut,

supposons que 2P est <= N

Pourquoi? On peut avoir P=N-1 par exemple.

Cordialement.

[leg]

tout a fait Martini , donc si il n'existe pas P' entre N et 2N il n'existe pas d'avantage entre P et 2P, si P=N-1.
or si il existe P' entre N et 2N mais qu'il n'existerait pas entre P=N-1 et 2P,
la question du départ ne se poserait plus et on n'aurait pu le démontrer .

donc on peut résumer cette question à N = P premier, tout simplement;

P₁ et 2P₁, puis
P₂ et 2P₂ etc