Bonjour, j'ai un petit problème sur mon Dm de maths car je suis confronté à un problème jamais rencontré.
Soit f : R^4 -> R^3
tel que pour tout (x,y,z,t) appartenant à R^4
f(x,y,z,t)=(x+y+z , y+2z+t , x+y+z)
J'ai démontré quelle était linéaire , mais je ne vois pas comment déterminer le Ker (f) car quand je pose mon déterminant cela me donne
1 1 1 0
0 1 2 1
1 1 1 0
et je ne vois pas comment résoudre une telle matrice 4*3
Si quelqu'un à la réponse merci
resouds:
x+y+z=0
y+2z+t=0
x+y+z=0
tu peux retirer la dernière equation, ça donne:
x=-y-z
y=y
z=z
t=-2z-y
ton ker est donc l'ensembles des vecteurs de R4 qui s'écrivent-y-z,y,z,-2z-y)=y(-1,1,0,-1)+z(-1,0,1,-2)
donc Ker(f)=vect((-1,1,0,-1),(-1,0,1,-2))
C'est un plan, tu pouvais le prevoir en observant qu'il fallait résoudre deux équations indépendante, donc deux coordonnée contraintes, donc deux dimensions en moins...Voilà
Justement la première fois j'avais procédé comme tu viens de mettre mais je me suis confronté au second problème et donc je me suis dit que mon problème venait de là .
J'explique la question suivante est:
1 - Trouver (a,b,c,d) appartenant à R^4 tel que
ker(f)=Vect( (1,0,a,b) ; (0,1,c,d) )
donc je résouds le truc et la question d'après c'est
2 - soit H = Vect( (0,0,1,0) ; (0,0,0,1) )
Je pense que H est la réponse à la question 1 puisque qu'il faut ensuite montré que
H + (en somme directe) ker (f) = R^4
Donc je ne vois pas comment faire à la question 1 si toi aussi tu penses que le
Ker(f)=vect((-1,1,0,-1),(-1,0,1,-2))
Salut!
Ce n'est pas la réponse à la question 1)Envoyé par CaesarsMermoz
Sinon, on aurait que H=Ker f et un sous-espace non réduit à {0} n'est jamais en somme directe avec lui-même (vois-tu pourquoi?)
Cordialement
Plus ou moins je comprends maintenant pourquoi H est différent de ker(f) mais je ne vois plus alors comment résoudre la question 1 et 2
Ben...maintenant que tu connais le ker, il suffit de montrer que les vecteurs de H et ceux du Ker sont libre et un petit coup de théorème du rang...
Si tu n'a pas encore vu ça commence par resoudre:
-a -b =x
a =y
b+c =z
-2a -b +d=t
avec x,y,z,t en parametres.
qui correspond à:
a(-1,1,0,-2)+b(-1,0,1,-1)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)=(x,y, z,t)
Tu vas trouver facilement que quelquesoient x,y,z,t tu as une unique solution. Tu as alors prouver que Ker+(somme normale)H=R4puisque tu es capable d'ecrire tout vecteur comme somme de tes 4 vecteurs.Comme il y a l'unicié tu as la definition de la somme directe...
