Exprimer |th(z)|²

[invite42f885fe]

Bonsoir,

z = x + iy.

Exprimer |th(z)|² en fonction de sh²(x) + sin²(y) et sh²(x) + cos²(y).

Merci à ceux qui se penchent sur ce problème.
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[invite1237a629]

Salut,

Bonsoir,

z = x + iy.

Exprimer |th(z)|² en fonction de sh²(x) + sin²(y) et sh²(x) + cos²(y).

Merci à ceux qui se penchent sur ce problème.

Idée comme ça, à chaud, est-ce que tu as essayé ça :

th(z)=sh(z)/ch(z)

Ensuite, utilise les formules d'additions de sh et ch (très similaires à celles de cos et sin - tu peux les trouver là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Cosinus_hyperbolique)
Puis, note que ch(ix)=cos(x) et i*sin(x)=sh(ix)



J'dois aller manger, j'verrai s'il y a une méthode plus simple

[invite42f885fe]

Oui oui tout essayé j'en dors plus depuis une semaine

[invite1237a629]

Ben... c'est bourrin, mais ça a l'air de marcher

Nous disions donc :




Maintenant, multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur

On a alors



(car ch²(a)-sh²(b)=1)


Le dénominateur est maintenant un réel, donc tu peux le sortir du module.
Pour le numérateur, groupe les parties réelle et imaginaire puis prends son module au carré et simplifie avec juste l'identité ch²-sh² et cos²+sin²

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Ensuite on peut calculer directement

,

ça réduit pas mal les calculs. Après il n'y a plus qu'à jouer avec et ...

[invitea41c27c1]

Il y a des formules qui sont sympas et qui sont pas durs a demonter (et qu'il faut retenir si on a des cases memoires pour les nombreuses formules de trigo) :

et .

Ce qui donne immediatement la reponse.

[invite6bacc516]

Au lieu de les retenir telles quelles on peut peut-être jouer avec les formules de duplication, qui sont généralement bien connues, et penser aux relations liant et ainsi que et :



Ces formules se retrouvent très aisément à partir des formules d'Euler, et en plus elles permettent de retrouver toutes les formules de trigonométrie hyperbolique à partir des formules de trigonométrie classique. Alors, ça économise de l'espace disque comme ça non ?

[invite1237a629]

Au lieu de les retenir telles quelles on peut peut-être jouer avec les formules de duplication, qui sont généralement bien connues, et penser aux relations liant et ainsi que et :



Ces formules se retrouvent très aisément à partir des formules d'Euler, et en plus elles permettent de retrouver toutes les formules de trigonométrie hyperbolique à partir des formules de trigonométrie classique. Alors, ça économise de l'espace disque comme ça non ?

Ben wé c'est ce que j'ai fait

Mais tu peux constater que tu n'as besoin que de deux relations sur les 4, les deux autres se déduisant par la parité de cos et sin ^^


@ Garnet : encore faut-il la connaître, je ne pense pas que ce soit immédiat :s

@ Flyingsquirrel : wi, ça raccourcit pas mal ^^'

[invitea41c27c1]

@ Garnet : encore faut-il la connaître, je ne pense pas que ce soit immédiat :s

Faut juste savoir qu'il y a une formule pour (surtout quand on voit cette question), on est pas obligé de la retenir puisqu'elle se retrouve facilement (c'est plus facile de trouver |shz|^2 et |chz|^2, que de trouver |thz|^2 directement comme tu l'as fait, et en plus il suffit de ne faire que l'un des deux !).

A noter que c'est une formule tres efficace pour trouver les zeros de la fonction sinus (cosinus & cie...) sur C.

[invite42f885fe]

Okey merci beaucoup ^^

Ca me parait evident maintenant