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Interpolation polynomiale



  1. #1
    bolltt

    Interpolation polynomiale


    ------

    Bonjour tout le monde,
    J'essaie un sujet de maths sur l'interpolation polynomiale, j'ai un peu de mal, j'aimerai avoir votre aide s'il vous plaît.

    désigne une fonction continue de dans R.
    désigne un entier naturel. on se donne n+1 réels .
    On appelle polynôme interpolateur de f aux points , un polynôme P à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n vérifiant pour tout , .

    Déterminer un polynôme interpolateur de la fonction dans le cas où n=1 aux points et

    si , alors d'où

    si , alors d'où .

    d'où le polynôme interpolateur sera le produit des ?

    Pouvez vous corriger s'il vous plaît. C'est une notion nouvelle, j'aimerai bien avoir vos commentaires s'il vous plaît.

    -----
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Interpolation polynomiale

    Salut,
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    si , alors d'où

    si , alors d'où .

    d'où le polynôme interpolateur sera le produit des ?
    Je ne comprends pas ce que tu fais.

    On te donne deux points par lesquels doit passer la courbe du polynôme interpolateur . Celui-ci est donc (au plus) de degré 2-1=1 et l'on peut par conséquent écrire pour tout , et étant deux réels à déterminer en utilisant les équations et .

  4. #3
    bolltt

    Re : Interpolation polynomiale

    Bonsoir,
    Veuillez m'excuser, au fait j'ai mal compris l'énoncé. Merci à vous de m'avoir éclairci.

    D'où

    b. Déterminer un polynôme interpolateur de la fonction x: dans le cas où n = 2 aux points , , .

    or et et
    d'où

    Cas général:
    désigne le-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou
    égal à .
    On considère l’application linéaire de dans définie par .

    a) Déterminer le noyau de .
    Excusez moi si j'écris des bêtises. Voilà ce que je répondrais. Vu que notre ensemble de départ est un corps des polynômes n et notre ensemble d'arrivé est un corps des polynômes n+1.

    soit u l'ensemble des polynômes de ,
    d'où . je réponds à la question? Merci à vous.
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Interpolation polynomiale

    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    D'où
    D'accord.
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    b. Déterminer un polynôme interpolateur de la fonction x: dans le cas où n = 2 aux points , , .

    or et et
    d'où
    Pas d'accord. alors que l'on devrait avoir ( ne colle pas non plus avec ce qui est demandé par contre on a bien ).
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Excusez moi si j'écris des bêtises.
    Bien sûr.
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Vu que notre ensemble de départ est un corps des polynômes n et notre ensemble d'arrivé est un corps des polynômes n+1.
    L'ensemble de départ est : l'ensemble des polynômes à coefficients dans . On ne peut en général pas le munir d'une structure de corps (Par exemple dans , quel serait l'inverse du polynôme ?) mais par contre on peut le voir comme un anneau ou comme un espace vectoriel sur (vu qu'on parle d'applications linéaires on se place dans ce dernier cas).

    L'ensemble d'arrivée est, lui, qui n'est pas un « corps de polynômes » mais l'espace vectoriel des -uplets de nombres réels.
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    soit u l'ensemble des polynômes de ,
    d'où . je réponds à la question?
    À moitié (c'est même une petite moitié ). Le but de la question est de déterminer ce que contient le noyau donc de trouver les polynômes (je préfère appeler un polynôme plutôt que ) de tels que (on est d'accord que le 0 à droite est en fait le vecteur nul de ?). Autrement dit, il faut trouver les polynômes de degré au plus tels que . Dire qu'ils vérifient cette équation n'est pas suffisant, il faut les déterminer. Une idée ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    bolltt

    Re : Interpolation polynomiale

    Bonsoir,
    Je trouve que

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Autrement dit, il faut trouver les polynômes de degré au plus tels que . Dire qu'ils vérifient cette équation n'est pas suffisant, il faut les déterminer. Une idée ?
    En continuant, j'obtiens ou ....

    Vu que est une application linéaire cela implique Je crois que je me trompe. Aidez moi s'il vous plaît. Merci à vous.
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  8. #6
    Flyingsquirrel

    Re : Interpolation polynomiale

    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Je trouve que
    Non, il y a un problème de signe : le coefficient de et , pas .
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    En continuant, j'obtiens ou ....
    Oui, tu connais donc racines distinctes de qui est un polynôme de degré ...
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Vu que est une application linéaire cela implique Je crois que je me trompe.
    Effectivement, je ne vois pas le rapport entre ce que tu écris et le fait que s'annule en , ....

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  10. #7
    bolltt

    Re : Interpolation polynomiale

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Oui, tu connais donc racines distinctes de qui est un polynôme de degré ...
    Donc on peut dire que

    b. Justifier que est un isomorphisme. En déduire que la fonction admet un unique polynôme interpolateur de degré inférieur ou égal à aux points . On le note L_n(f).

    On sait que est une application linéaire et il faut montrer que est bijective? avez vous un astuce s'il vous plaît?
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  11. #8
    Flyingsquirrel

    Re : Interpolation polynomiale

    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Donc on peut dire que
    Ah ? Qu'est-ce que ? (rappel : est un polynôme, pas une application linéaire !) Nous on cherche : l'ensemble des polynômes de degré qui s'annulent en en , , ... .

    Question : Au maximum, combien de racines admet un polynôme non nul de degré ?

    Sachant que les polynômes appartenant au noyau de admettent racines, que peux-tu en déduire ?
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    On sait que est une application linéaire et il faut montrer que est bijective?
    On peut par exemple prouver que est injective (comment cela se traduit-il pour les applications linéaires ?) puis raisonner sur les dimensions des espaces de départ et d'arrivée pour en déduire la bijectivité.

  12. #9
    bolltt

    Re : Interpolation polynomiale

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message

    Question : Au maximum, combien de racines admet un polynôme non nul de degré ?
    Le polynôme de degré admet racines.
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Sachant que les polynômes appartenant au noyau de admettent racines, que peux-tu en déduire ?
    Je peux déduire que les polynômes appartenant au racines de degré
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    On peut par exemple prouver que est injective (comment cela se traduit-il pour les applications linéaires ?) puis raisonner sur les dimensions des espaces de départ et d'arrivée pour en déduire la bijectivité.
    Il existe un polynôme appartenant à notre ensemble de départ telque .

    Merci à vous.
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  13. #10
    Flyingsquirrel

    Re : Interpolation polynomiale

    Salut,
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Le polynôme de degré admet racines.
    Oui mais certaines de ces racines peuvent être complexes. Comme ici on travaille dans on retiendra qu'un polynôme de degré (donc non nul) admet au plus racines réelles.
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Je peux déduire que les polynômes appartenant au racines de degré
    « les polynômes appartenant au noyau »

    Et non, tu ne peux pas en déduire que les polynômes dans le noyau de sont de degré puisque l'on ne connait pas toutes leurs racines. On sait seulement qu'ils en admettent au moins . Or les polynômes admettant plus de sont soit des polynômes de degré supérieur ou égal à , soit le polynôme nul. Sachant que les polynômes du noyau appartiennent tu devrais pouvoir conclure...
    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Il existe un polynôme appartenant à notre ensemble de départ telque .
    Non, ça c'est la surjectivité (d'ailleurs tu n'as pas précisé qui est ).

    Une application est injective si chaque élément de l'espace d'arrivée (ici ) admet au plus un antécédent par .

    Tu as dû voir qu'une application linéaire est injective si son noyau ne contient que le vecteur nul (dans notre cas il s'agit du vecteur nul de c'est-à-dire le polynôme nul)... il suffit donc de répondre à la première question pour prouver que est injective. Pour en déduire la bijectivité il suffit de dire que l'on travaille avec des espaces de dimensions finies (ça doit être dans ton cours j'imagine).

  14. #11
    bolltt

    Re : Interpolation polynomiale

    Bonsoir,
    Merci à vous.
    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Pour en déduire la bijectivité il suffit de dire que l'on travaille avec des espaces de dimensions finies (ça doit être dans ton cours j'imagine).
    En fait, l'an dernier je fais de l'algebre pendant un semestre mais je me rappelle plus excatement, comment on démontrait la bijective avec les dimensions. Il faut utiliser le théorème du Rang?
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  15. #12
    Flyingsquirrel

    Re : Interpolation polynomiale

    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    Il faut utiliser le théorème du Rang?
    Oui.

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