Interpolation polynomiale

invitedaf7b98f · 25/04/2009, 11h57

Bonjour tout le monde,
J'essaie un sujet de maths sur l'interpolation polynomiale, j'ai un peu de mal, j'aimerai avoir votre aide s'il vous plaît.

$\text{[math]}$ désigne une fonction continue de $\text{[math]}$ dans R.
$\text{[math]}$ désigne un entier naturel. on se donne n+1 réels $\text{[math]}$ .
On appelle polynôme interpolateur de f aux points $\text{[math]}$ , un polynôme P à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n vérifiant pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Déterminer un polynôme interpolateur de la fonction $\text{[math]}$ dans le cas où n=1 aux points $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$

si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ .

d'où le polynôme interpolateur sera le produit des $\text{[math]}$ ?
$\text{[math]}$
Pouvez vous corriger s'il vous plaît. C'est une notion nouvelle, j'aimerai bien avoir vos commentaires s'il vous plaît.

**Flyingsquirrel** · 25/04/2009, 14h51

Salut,

Envoyé par bolltt

si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$

si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ .

d'où le polynôme interpolateur sera le produit des $\text{[math]}$ ?
$\text{[math]}$

Je ne comprends pas ce que tu fais.

On te donne deux points par lesquels doit passer la courbe du polynôme interpolateur $\text{[math]}$ . Celui-ci est donc (au plus) de degré 2-1=1 et l'on peut par conséquent écrire $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ étant deux réels à déterminer en utilisant les équations $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invitedaf7b98f · 25/04/2009, 19h15

Bonsoir,
Veuillez m'excuser, au fait j'ai mal compris l'énoncé. Merci à vous de m'avoir éclairci.

D'où $\text{[math]}$

b. Déterminer un polynôme interpolateur de la fonction x: $\text{[math]}$ dans le cas où n = 2 aux points $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
d'où $\text{[math]}$

Cas général:
$\text{[math]}$ désigne le $\text{[math]}$ -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou
égal à $\text{[math]}$ .
On considère l’application linéaire $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ .

a) Déterminer le noyau de $\text{[math]}$ .
Excusez moi si j'écris des bêtises. Voilà ce que je répondrais. Vu que notre ensemble de départ est un corps des polynômes n et notre ensemble d'arrivé est un corps des polynômes n+1.

soit u l'ensemble des polynômes de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
d'où $\text{[math]}$ . je réponds à la question? Merci à vous.

**Flyingsquirrel** · 25/04/2009, 20h06

Envoyé par bolltt

D'où $\text{[math]}$

D'accord.

Envoyé par bolltt

b. Déterminer un polynôme interpolateur de la fonction x: $\text{[math]}$ dans le cas où n = 2 aux points $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
d'où $\text{[math]}$

Pas d'accord. $\text{[math]}$ alors que l'on devrait avoir $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ne colle pas non plus avec ce qui est demandé par contre on a bien $\text{[math]}$ ).

Envoyé par bolltt

Excusez moi si j'écris des bêtises.

Bien sûr.

Envoyé par bolltt

Vu que notre ensemble de départ est un corps des polynômes n et notre ensemble d'arrivé est un corps des polynômes n+1.

L'ensemble de départ est $\text{[math]}$ : l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\text{[math]}$ . On ne peut en général pas le munir d'une structure de corps (Par exemple dans $\text{[math]}$ , quel serait l'inverse du polynôme $\text{[math]}$ ?) mais par contre on peut le voir comme un anneau ou comme un espace vectoriel sur $\text{[math]}$ (vu qu'on parle d'applications linéaires on se place dans ce dernier cas).

L'ensemble d'arrivée est, lui, $\text{[math]}$ qui n'est pas un « corps de polynômes » mais l'espace vectoriel des $\text{[math]}$ -uplets de nombres réels.

Envoyé par bolltt

soit u l'ensemble des polynômes de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
d'où $\text{[math]}$ . je réponds à la question?

À moitié (c'est même une petite moitié

). Le but de la question est de déterminer ce que contient le noyau donc de trouver les polynômes $\text{[math]}$ (je préfère appeler un polynôme $\text{[math]}$ plutôt que $\text{[math]}$ ) de $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ (on est d'accord que le 0 à droite est en fait le vecteur nul de $\text{[math]}$ ?). Autrement dit, il faut trouver les polynômes $\text{[math]}$ de degré au plus $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ . Dire qu'ils vérifient cette équation n'est pas suffisant, il faut les déterminer. Une idée ?

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invitedaf7b98f · 25/04/2009, 20h55

Bonsoir,
Je trouve que $\text{[math]}$

Envoyé par Flyingsquirrel

Autrement dit, il faut trouver les polynômes $\text{[math]}$ de degré au plus $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ . Dire qu'ils vérifient cette équation n'est pas suffisant, il faut les déterminer. Une idée ?

En continuant, j'obtiens $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ... $\text{[math]}$ .

Vu que $\text{[math]}$ est une application linéaire cela implique $\text{[math]}$ Je crois que je me trompe. Aidez moi s'il vous plaît. Merci à vous.

**Flyingsquirrel** · 25/04/2009, 21h07

Envoyé par bolltt

Je trouve que $\text{[math]}$

Non, il y a un problème de signe : le coefficient de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , pas $\text{[math]}$ .

Envoyé par bolltt

En continuant, j'obtiens $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ... $\text{[math]}$ .

Oui, tu connais donc $\text{[math]}$ racines distinctes de $\text{[math]}$ qui est un polynôme de degré $\text{[math]}$ ...

Envoyé par bolltt

Vu que $\text{[math]}$ est une application linéaire cela implique $\text{[math]}$ Je crois que je me trompe.

Effectivement, je ne vois pas le rapport entre ce que tu écris et le fait que $\text{[math]}$ s'annule en $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ... $\text{[math]}$ .

invitedaf7b98f · 25/04/2009, 21h29

Envoyé par Flyingsquirrel

Oui, tu connais donc $\text{[math]}$ racines distinctes de $\text{[math]}$ qui est un polynôme de degré $\text{[math]}$ ...

Donc on peut dire que $\text{[math]}$

b. Justifier que $\text{[math]}$ est un isomorphisme. En déduire que la fonction $\text{[math]}$ admet un unique polynôme interpolateur de degré inférieur ou égal à $\text{[math]}$ aux points $\text{[math]}$ . On le note L_n(f).

On sait que $\text{[math]}$ est une application linéaire et il faut montrer que $\text{[math]}$ est bijective? avez vous un astuce s'il vous plaît?

**Flyingsquirrel** · 25/04/2009, 21h43

Envoyé par bolltt

Donc on peut dire que $\text{[math]}$

Ah ? Qu'est-ce que $\text{[math]}$ ? (rappel : $\text{[math]}$ est un polynôme, pas une application linéaire !) Nous on cherche $\text{[math]}$ : l'ensemble des polynômes $\text{[math]}$ de degré $\text{[math]}$ qui s'annulent en $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , ... $\text{[math]}$ .

Question : Au maximum, combien de racines admet un polynôme non nul de degré $\text{[math]}$ ?

Sachant que les polynômes appartenant au noyau de $\text{[math]}$ admettent $\text{[math]}$ racines, que peux-tu en déduire ?

Envoyé par bolltt

On sait que $\text{[math]}$ est une application linéaire et il faut montrer que $\text{[math]}$ est bijective?

On peut par exemple prouver que $\text{[math]}$ est injective (comment cela se traduit-il pour les applications linéaires ?) puis raisonner sur les dimensions des espaces de départ et d'arrivée pour en déduire la bijectivité.

invitedaf7b98f · 26/04/2009, 10h22

Bonjour,

Envoyé par Flyingsquirrel

Question : Au maximum, combien de racines admet un polynôme non nul de degré $\text{[math]}$ ?

Le polynôme de degré $\text{[math]}$ admet $\text{[math]}$ racines.

Envoyé par Flyingsquirrel

Sachant que les polynômes appartenant au noyau de $\text{[math]}$ admettent $\text{[math]}$ racines, que peux-tu en déduire ?

Je peux déduire que les polynômes appartenant au racines de degré $\text{[math]}$

Envoyé par Flyingsquirrel

On peut par exemple prouver que $\text{[math]}$ est injective (comment cela se traduit-il pour les applications linéaires ?) puis raisonner sur les dimensions des espaces de départ et d'arrivée pour en déduire la bijectivité.

Il existe un polynôme $\text{[math]}$ appartenant à notre ensemble de départ $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ .

Merci à vous.

**Flyingsquirrel** · 26/04/2009, 10h52

Salut,

Envoyé par bolltt

Le polynôme de degré $\text{[math]}$ admet $\text{[math]}$ racines.

Oui mais certaines de ces racines peuvent être complexes. Comme ici on travaille dans $\text{[math]}$ on retiendra qu'un polynôme de degré $\text{[math]}$ (donc non nul) admet au plus $\text{[math]}$ racines réelles.

Envoyé par bolltt

Je peux déduire que les polynômes appartenant au racines de degré $\text{[math]}$

« les polynômes appartenant au noyau »

Et non, tu ne peux pas en déduire que les polynômes dans le noyau de $\text{[math]}$ sont de degré $\text{[math]}$ puisque l'on ne connait pas toutes leurs racines. On sait seulement qu'ils en admettent au moins $\text{[math]}$ . Or les polynômes admettant plus de $\text{[math]}$ sont soit des polynômes de degré supérieur ou égal à $\text{[math]}$ , soit le polynôme nul. Sachant que les polynômes du noyau appartiennent $\text{[math]}$ tu devrais pouvoir conclure...

Envoyé par bolltt

Il existe un polynôme $\text{[math]}$ appartenant à notre ensemble de départ $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ .

Non, ça c'est la surjectivité (d'ailleurs tu n'as pas précisé qui est $\text{[math]}$ ).

Une application est injective si chaque élément de l'espace d'arrivée (ici $\text{[math]}$ ) admet au plus un antécédent par $\text{[math]}$ .

Tu as dû voir qu'une application linéaire est injective si son noyau ne contient que le vecteur nul (dans notre cas il s'agit du vecteur nul de $\text{[math]}$ c'est-à-dire le polynôme nul)... il suffit donc de répondre à la première question pour prouver que $\text{[math]}$ est injective. Pour en déduire la bijectivité il suffit de dire que l'on travaille avec des espaces de dimensions finies (ça doit être dans ton cours j'imagine).

invitedaf7b98f · 26/04/2009, 18h28

Bonsoir,
Merci à vous.

Envoyé par Flyingsquirrel

Pour en déduire la bijectivité il suffit de dire que l'on travaille avec des espaces de dimensions finies (ça doit être dans ton cours j'imagine).

En fait, l'an dernier je fais de l'algebre pendant un semestre mais je me rappelle plus excatement, comment on démontrait la bijective avec les dimensions. Il faut utiliser le théorème du Rang?

**Flyingsquirrel** · 26/04/2009, 18h55

Envoyé par bolltt

Il faut utiliser le théorème du Rang?

Oui. $\text{[math]}$

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