Bonjour,
j'ai un jeu "spirograph" et j'aimerais savoir quel mystère mathématique se cache derrière ces courbes! j'ai fais une recherches et je suis tombée sur des sites anglophones qui parlent de "hypotrochoid" (est ce le même mot en français?), tout ceci pour savoir à peu près ce que je vais avoir comme figure quand j'utiliserais tel ou tel "cercle ", car là c'est un peu du hasard!!
En vous remerciant d'avance pour vos réponses
Salut,
Il n'y a pas de "mystère" mathématique il y a juste des équations qu'on peut calculer et à partir de là on peut prévoir la forme qu'on obtient. Je suppose que tu as regardé les pages wikipédia sur les hypo et épi cycloïdes et trochoïdes.
je savais bien que le mystère n'était mystère que pour moi!!!
J'ai regardé les pages wikipédia, mais il est vrai que cela ne m'aide pas pour savoir ce que cela va donner! si il faut passer par le calcul pour savoir si le dessin obtenu va faire 4 ou 20 arcs cela va être laborieux pour moi !!
Merci de m'avoir répondu
Re,
En fait on est pas obligé de faire tous les calculs pour prévoir le nombre de pointes d'une cycloïde par exemple. Si je te conseillais de déterminer l'équation des courbes, c'est parce que si tu commence à t'atteler à cette tache tu risque de vite comprendre le principe. En plus c'est un excellent exercice de maths. Tu peux commencer par des cas particulier. Le cas des hypocycloïdes c'est le cas où un petit disque tourne à l'intérieur d'un grand et où le crayon est au bord du petit disque. Pose toi la question suivante:
quel doit être le rapport du rayon r du petit disque sur le rayon R du grand disque pour obtenir une deltoïde (3 pointes)?
Réfléchis un peu et tu verra que ce n'est pas sorcier (Bien entendu si tu n'arrive pas à trouver je pourrais te donner la solution). Bien sûr dans la pratique le crayon n'est jamais totalement au bord du petit disque et le rapport des rayon n'est qu'approximatif ce qui fait qu'au lieu d'avoir 3 pointes tu peux en avoir beaucoup plus parce que tu ne retombe pas exactement sur ton point de départ après un tour. J'avoue que je n'ai jamais joué au spirographe. Sinon pour être sûr de la précision tu peux t'amuser avec un logiciel de géométrie comme Cabri géomètre, quand on connaît le logiciel c'est facile de jouer au spirographe avec.
je vais réfléchir ...comme je ne suis pas très douée cela va peut être prendre du temps...si je suis dans l'impasse je viendrais te solliciter!quel doit être le rapport du rayon r du petit disque sur le rayon R du grand disque pour obtenir une deltoïde (3 pointes)?
oui, dans le jeu il y a plusieurs trous en spirales( notés de 1 à ...) pour placer le crayonBien sûr dans la pratique le crayon n'est jamais totalement au bord du petit disque
de plus les cercles mobiles ont un numéro qui ne correspond ni au rayon, ni au diamètre (pareil pour anneaux fixes)
j'ai voulu télécharger cabri ... il y a le choix entre cabri 3D et cabri II plus, que me conseilles tu?
le rapport doit être de 3.quel doit être le rapport du rayon r du petit disque sur le rayon R du grand disque pour obtenir une deltoïde (3 pointes)?
Re
Pour les logiciel j'avoue que je ne connais pas cabri3D et je ne sais pas s'il inclut toutes les possibilités de géométrie 2D de cabriII, de toute façon ce dont tu as besoin c'est de la géométrie plane (il me semble que le spirographe ca se fait à plat sur une feuille de papier).
Le rapport est bien 3. Pour les cycloïdes on utilise souvent l'explication du chewing gum collé sur une roue de vélo. La roue de vélo c'est le petit disque qui roule sur le sol qui est le grand disque. La trajectoire du chewing gum c'est ce qui est tracé par le crayon. S'il y a 3 pointes c'est que le chewing gum a touché 3 fois le sol. Pour que le chewing gum touche à nouveau le sol il faut que la roue de vélo fasse un tour sur elle même. Maintenant il faut répondre à la question:
Quelle distance parcours une roue de vélo qui tourne 3 fois sur elle même?
réponse:
Imagine que la roue soit une bobine de fil et qu'en même temps que la bobine roule sur la route elle se dévide, la distance parcourue correspond au fil déroulé qui correspond à 3 tours de bobines. La réponse à la question est donc, 3 fois la circonférence de la roue:
d=3*2*pi*r
Par ailleurs, la distance que parcours la roue de vélo dans le grand disque quand elle fait un tour de grand disque est égale à la circonférence du grand disque (là encore tu peux imaginer une bobine qui se déroule) soit:
d=2*pi*R
on en déduit que 3*2*pi*r=2*pi*R et donc R=3*r. CQFD
je suis bien contente d'avoir compris ça,
mais je coince pour passer aux hypotrochoides (c'est ce que forme le spirographe)
as-tu des notions de physique ? plus particulièrement de mécanique du solide et de roulement sans glissement ?
Cette manière de voir les choses peut être fructueuse si tu ne cherches pas à faire une étude complète de la courbe.
aucune notion!!as-tu des notions de physique ? plus particulièrement de mécanique du solide et de roulement sans glissement ?
...mais je ne veux pas faire une étude de la courbe (cela va être un peu difficile pour moi), je voudrais "grosso modo" savoir ce que je vais obtenir comme "rosace" en utilisant tel ou tel disque :la conséquence d'utiliser le crayon plus ou moins près du bord du disque.
J'ai raisonné un peu sur le sujet, et voici le fruit de ma petite réflexion.
Voici le dessin :
http://img105.imageshack.us/my.php?image=51673884.jpg
C'est une copie d'écran de wiki, à laquelle j'ai ajouté 2 angles.
1-l'angle "a", c'est l'angle que fait l'axe OO' avec l'axe Ox.
en notant O et O' les centres respectifs du grand et du petit cercle.
L'axe Ox est constant, c'est l'axe des abscisses, horizontal, et l'axe OO', lui, varie dans le temps.
2-l'angle "b", c'est l'angle que fait l'axe O'C avec l'axe O'x, avec C la pointe du Crayon. L'axe O'x est variable, mais toujours parallèle à l'axe des abscisses, et passant par O'.
Donc,résumons, "a" est l'angle que fait O' avec l'axe des abscisses, et "b" est l'angle que fait le "crayon" avec l'axe des abscisses.
Partant de là, on peut montrer que ces angles sont très intimement relié :
on a en fait en permanence (R-r)a=-rb, avec R rayon du grand cercle, et r rayon du petit cercle (à l'orientation près des angles...un détail)
On montre ça de manière quasi immédiate en utilisant le fait que le petit cercle roule sans glisse sur le grand cercle, donc, à chaque instant, la vitesse du point qui touche les 2 cercles (ce point change à chaque instant) est nulle.
bon, supposons la formule acquise. Voyons ce qu'on en tire.
Déjà, question : quand est-ce que la boucle sera bouclée ?
réponse : lorsque le crayon reviendra au point de départ, c'est à dire lorsque a et b seront tous les 2 égaux à 0 modulo 2pi (c'est lorsque le petit cercle est à la droite du grand cercle, ET que le crayon est pointé dans la direction de l'axe des abscisses, quoi).
Bon, et bien, calculons ça, en remplaçant b par a+2.k.pi dans la formule :
((R-r)/r)a+a=2.k.pi.
==>a=2.r.k.pi/R
Et il faut de plus que r.k/R soit un entier. Dans le cas présenté sur mon dessin et en animation sur wiki, ça donne 3k/5 entier, ça donne k=5.
et on a alors a=6.pi
Ce qui correspond bien à ce que l'on observe : le petit cercle fait 3 tour avant que la boucle soit bouclée.
Au passage, ça donne b=(2/3).6pi=4pi, ce qui correspond aussi à ce que l'on observe.
Bon, maintenant, le nombre de pointes.
On a une pointe lorsque a=b modulo 2pi (regarde l'animation, c'est très clair), puisque c'est là que la distance au centre est maximale.
Bon, et bien, calculons, toujours avec la formule, on veut maintenant :
((R-r)/r)a+a=2.k.pi, ce qui donne comme tout à l'heure :
a=2.r.k.pi/R
Cette fois, on ne demande pas à a d'etre un entier, on peut donc prendre tous les k qu'on veut.
prenons k=1, alors a=6pi/5
prenons k=2, a=12pi/5=2pi/5
prenons k=3, a=18pi/5=8pi/5
prenons k=4, a=24pi/5=4pi/5
Et ô, miracle, si tu regarde un tantinet la figure, tu observeras que ces valeurs de a correspondent effectivement aux angles où les pointes sont observées.
Et, cerise sur le gateau, c'est même le même ordre !
Tu peux reproduire le raisonnement à ta convenance, j'espère ne pas avoir raisonné de manière fausse, et avoir été à peu près compréhensible.
horreur!
je suis déjà bloquée à ce niveauPartant de là, on peut montrer que ces angles sont très intimement relié :
on a en fait en permanence (R-r)a=-rb
Oui, je me doute bien, je n'ai pas expliqué d'où elle venait...mais accepte là, et lis quand même le reste.
Salut,
Merci bcp à toi Thorin pour toutes ces explications, tu viens de mettre en évidence que le nombre de pointes ne dépendait que du rapport des rayons et pas de la distance du crayon au centre du petit disque.
Je me permet un petit complément à propos du roulement sans glissement. La question à laquelle on s'intéresse c'est quelle distance parcours une roue de vélo qui roule sans glisser sur une route (plate par exemple) lorqu'elle tourne d'un anglesur elle même?
Là encore j'aime bien utiliser l'image de la bobine de fil qui se déroule. Imagine une bobine de fil qui roule sur la route (et donc elle se déroule en même temps). Si la bobine glisse il peut y avoir 2 cas:
1- soit la bobine dérape, elle tourne sur elle même sans avancer, dans ce cas du fil a été déroulé sans que la bobine ait avancé
2- soit la bobine glisse, elle avance sans tourner sur elle même, dans ce cas la bobine a avancé mais le fil n'a pas été déroulé.
Ainsi, si la bobine roule sans glissement, la longueur de fil déroulé est exactement égale à la distance parcourue (c'est que j'avais déjà utilisé dans une de mes réponse). Par exemple, si la bobine fait un dixième de tour sur elle même:
la quantité de fil correspond à un dixième de la circonférence de la bobine:
mais c'est aussi la distance parcourue:
Donc de façon générale quand une roue de rayon
Sur le joli dessin fourni par Thorin, si tu réfléchis un peu l'angle dont a tourné la roue de vélo est a+b ou a-b ou -a+b ou -a-b suivant l'orientation que tu choisis pour les angles a et b. Mettons qu'on choisisse comme Thorin : a-b. On a une expression de la distance que la roue a parcourue par rapport à son point de départ:
Maintenant la distance parcourue par la roue c'est aussi la longueur d'arc du grand disque correspondant à l'angle
Ainsi tu obtiens la formule voulue:
Voilà, j'ai réfléchi à une explication élémentaire, et :
http://img149.imageshack.us/my.php?image=55750160.jpg
sur la figure, j'ai colorié en rouge les arcs de cercle des points qui ont été des points d'intersection, comme la roue roule SANS GLISSER, on peut dire, et c'est intuitif, que la longueur des 2 arcs de cercle est la même, puisqu'ils ont été "décrits" dans le même temps, conjointement.
J'ai redessiné mes angles a et b dans ce cas.
on remarque qu'on retrouve "a" a deux endroits, par propriétés des angles alternes internes.
comme les 2 arcs de cercle sont de même longueur, on a :
a.R=(a+b)r
d'où :
(R-r)a=rb
!!
Edit : j'ai été grillé dans mon explication
Edit2 : ne pas se focaliser sur le signe "-" devant le rb...il ne dépend que de l'orientation des angles, et n'a aucune importance pour ce qui nous intéresse.
Avec un dessin c'est encore plus clair je trouve.
...j'ai compris!! je passe à la suite...donc je vais revenir dans pas longtemps
Merci pour tous les efforts que vous faites pour m'expliquer
"k" cela correspond à quoi?Bon, et bien, calculons ça, en remplaçant b par a+2.k.pi dans la formule :
((R-r)/r)a+a=2.k.pi.
k c'est en entier quelconque, qui correspond au fait que a et b sont égaux modulo 2pi, ie, ça correspond au fait que lorsque le "temps" passe, il se créé un décalage entre a et b (de la même façon que lorsqu'on prend x grand, il y aurait un décalage entre x et ((R-r)/r).x ), et que donc, quand on cherche a et b égaux modulo 2pi, on peut intercaler des multiples de 2pi entre a et b, pour combler le décalage.
En gros, ce qu'il faut bien comprendre, c'est qu'on veut que la pointe du stylo pointe vers l'axe des abscisses, et que la petite roue soit à droite de la grande roue, mais on permet que la pointe du sylo n'ait pas fait le même nombre de tours autour de la petite roue que la petite roue n'en a fait autour de l'origine du repère.
Voici l'interprétation physique d'une nécessite mathématique.
Et au final, dans cet exemple, ça se traduit par le fait que la petite roue fasse 3 tours alors que le stylo n'en fait que 2, avant que la boucle ne soit bouclée.
...je réfléchi...
j'ai fait un dessin avec le spirographe:
grand cercle: R=7 (ils mettent 150-105 et je ne sais pas à quoi cela correspond!) et petit cercle: r=1,5 (lui, nommé 48)
crayon mis au point le plus au bord du petit cercle.
ce décalage est du à quoi??k c'est en entier quelconque, qui correspond au fait que a et b sont égaux modulo 2pi, ie, ça correspond au fait que lorsque le "temps" passe, il se créé un décalage entre a et b
parce que b=-((R-r)/r)a
donc b-a=a.(-R/r), ce qui tend vers l'infini quand a tend vers l'infini.
Salut,
Je crois que les nombres 105 et 150 correspondent juste au nombre de dents qu'il y a a l'intérieur et à l'extérieur de la grande roue et 48 le nombre de dents de la petite roue. Si tu calcules le ppcm (plus petit commun multiple) de 48 et 105 tu trouves 1680, c'est 48*35 et 105*16. Ca veut dire que tu reviens à ton point de départ après avoir fait 16 tours de grande roue et la petite roue aura tourné 35 fois sur elle même et donc tu obtiens exatement 35 pointes.
De façon générale, si a est le nombre de dents intérieures à la grande roue et si b est le nombre de dents de la petite roue alors il y a exactement
et tu dois faire
Si on est bien d'accord sur la définition disant que la petite roue fait un tour sur elle même lorsque l'axe de son centre et du crayon est parallèle à l'axe de son centre et du crayon au commencement, alors, c'est faux.Envoyé par KerLannais
La roue trace effectivement 35pointes, mais ne fait pas 35tours.
voici un dessin pour me faire comprendre :
http://img2.imageshack.us/my.php?image=compak.jpg
a gauche, la roue vient de faire son premier tour sur elle meme
a droite, elle vient de tracer sa première pointe
ca ne correspond pas au même moment
C'est une question d'engrenage en fait.
La définition que j'utilise pour dire que la petite roue fait un tour sur elle même est effectivement différente (mon expression n'est pas super bien choisie): tu identifie une des dents de la petite roue, à chaque fois que cette petite dent reviens en contact avec les dents de la grande roue tu dis que la petite roue a fait un tour sur elle même. Cela correspond à dire que la petite roue a fait un tour sur elle même quand l'axe O'C est parallèle à l'axe OC.
En tout cas je suis formel, les formules que j'ai donné qui utilisent le nombre de dents donneront toujours exactement le nombre de pointes.
Oui oui, j'avais compris ce qui était considéré comme tour sur elle meme au vu de la formule, mais c'est trompeur de dire tour sur elle même, sans préciser qu'en fait, la roue 35 tours sur elle même lorsque l'on se place dans le monde de la grande roue.
oui, c'est ça! j'ai comptée crois que les nombres 105 et 150 correspondent juste au nombre de dents qu'il y a a l'intérieur et à l'extérieur de la grande roue et 48 le nombre de dents de la petite roue
grâce à vous je vais bosser avec cet outils plus sérieusement!
