AC et hasard.

[invited6a8e0a5]

Bonjour,

N^N est en bijection avec R. Appliquer une fonction de choix total à N^N revient-il donc à choisir un élément et un seul de R ?

Le cas échéant, peut-on considérer que c’est un choix fait au hasard sur R ?

Merci.
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[Médiat]

N^N est en bijection avec R. Appliquer une fonction de choix total à N^N revient-il donc à choisir un élément et un seul de R ?

Le cas échéant, peut-on considérer que c’est un choix fait au hasard sur R ?

Je ne suis pas sur de comprendre ton problème :
c'est bien l'ensemble des applications de dans , n'est-ce pas ?
Une fonction de choix sur , c'est une application qui à chacun des (indexée par ) associe un élément de , par exemple en posant f(n) = n j'obtiens une fonction de choix, et donc l'axiome du choix est inutile dans ce cas particulier, quant à l'élément de qui lui est associé, cela dépend de la bijection au début de ton intervention.
Enfin, je ne vois pas ce que veux dire hasard ici, non définissable ?

[invited6a8e0a5]

Je ne suis pas sur de comprendre ton problème :
c'est bien l'ensemble des applications de dans , n'est-ce pas ?
Une fonction de choix sur , c'est une application qui à chacun des (indexée par ) associe un élément de , par exemple en posant f(n) = n j'obtiens une fonction de choix, et donc l'axiome du choix est inutile dans ce cas particulier, quant à l'élément de qui lui est associé, cela dépend de la bijection au début de ton intervention.
Enfin, je ne vois pas ce que veux dire hasard ici, non définissable ?

Effectivement, par choix par hasard, j'entends au sens ou on ne peut exhiber le processus. Il n'y a pas de "cause" au nombre.

Une série, aussi longue soit-elle, de ces nombres doit pouvoir subir tous les tests de "hasard".

Il me semble (je n'en suis pas sûr) que Cantor a dit un jour: "je choisis un nombre au hasard sur R" histoire de ben l'ordonner.
F(R)=E0, F(R/E0)=E1, F(R/{E0,E1}=E2... et on balaie R à l'infini.
R bien ordonné est en équivalence stricte avec AC.

N'étant pas mathématicien, j'aurais aimé savoir si l'AC était un axiome parfois perçu comme celui qui permettait de choisr au hasard parmi une infinité. (ce nest pas pire que nanard-starsky et consorts paradoxes qu'il induit).

Voila, j'espère avoir été au moins vaguement pas trop opaque

Merci

[invite5ad8e560]

Je comprend pas moi aussi

Pour définir ta fonction de choix sur N (et dc un element de N^N) on a bien besoin du ACD.
Mais si c'est équivalent à choisir un élément de R, ou de [0 1], on a jamais dit que ca nécessitait le ACD.

Exemple
Si par exemple je dit que R est bijective a N^N, par l intermediare des fractions continu (j en ss pas sur), il faut l ACD pour choisir une suite de N^N, mais on en pas besoin si on passe par le choix d'un reel et on en fait la décomposition...
Y a t-il contradiction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6a8e0a5]

Petite précision, par "hasard", j'entend par exemple la possibilité de lancé un dé avec une infinité non dénombrable de face, ce dé (un dé rond par ex) s'arêterait de lui même sur un point et un seul.

[invited6a8e0a5]

Je comprend pas moi aussi

mais on en pas besoin si on passe par le choix d'un reel et on en fait la décomposition...
Y a t-il contradiction ?

Comment choisis-tu ton réel ? Le problème est bien la, si tu sais choisir un réel, tu sais en choisir une infinité, R est ordonné et donc AC.

Enfin il me semble

[Médiat]

Effectivement, par choix par hasard, j'entends au sens ou on ne peut exhiber le processus. Il n'y a pas de "cause" au nombre.

Une série, aussi longue soit-elle, de ces nombres doit pouvoir subir tous les tests de "hasard".

Difficile de faire passer des tests de distribution aléatoire à des nombres que l'on ne peut pas exhiber, et à quoi cela servirait-il ?

Il me semble (je n'en suis pas sûr) que Cantor a dit un jour: "je choisis un nombre au hasard sur R" histoire de ben l'ordonner.
F(R)=E0, F(R/E0)=E1, F(R/{E0,E1}=E2... et on balaie R à l'infini.

Je n'ai pas compris

R bien ordonné est en équivalence stricte avec AC.

Je ne connais pas ce théorème

N'étant pas mathématicien, j'aurais aimé savoir si l'AC était un axiome parfois perçu comme celui qui permettait de choisr au hasard parmi une infinité.

Qui permet surtout de choisir une infinité de fois (mais là encore le mot hasard ne me paraît pas idéal)

(ce nest pas pire que nanard-starsky et consorts paradoxes qu'il induit).

Banach et Tarski sont des mathématiciens plus qu'honorables et dont le paradoxe mérite mieux qu'un jeu de mots vaseux.

[Médiat]

Pour définir ta fonction de choix sur N (et dc un element de N^N) on a bien besoin du ACD.

Je ne vois pas où on a besoin de l'axiome du choix dépendant pour définir la fonction définit par f(n) = n, ou plus simple, par f(n) = 0

[invite5ad8e560]

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[invite5ad8e560]

Si j 'ai bien compris, l'ACD sert pour affirmer que :

Le produit d'une famille demombrable d'ensembles non vides est non vide

Mais on en a pas forcement besoin, par exemple pour N^N, car on sait que c' est non vide : (0,0,0....) est dedans
C' est ca mediat ?

Merci

[Médiat]

Si j 'ai bien compris, l'ACD sert pour affirmer que :

Le produit d'une famille demombrable d'ensembles non vides est non vide

Oui, du coup je viens de réaliser que par ACD tu veux dire axiome du choix dénombrable et non axiome du choix dépendant.

Mais on en a pas forcement besoin, par exemple pour N^N, car on sait que c' est non vide : (0,0,0....) est dedans
C' est ca mediat ?

Très exactement, l'axiome du choix affirme que la fonction de choix existe toujours, cela ne veut pas dire que sans axiome du choix elle n'existe jamais.
Parmi les exemples non triviaux où l'axiome du choix est nécessaire, il y a : choisir un représentant dans chacune des classes de la relation d'équivalence sur définie par

[leon1789]

Banach et Tarski sont des mathématiciens plus qu'honorables et dont le paradoxe mérite mieux qu'un jeu de mots vaseux.

Oui, mais les grands mathématiciens (tels Banach et Tarski...) étaient-ils / sont-ils nécessairement dénués du sens de l'humour ?



Autre exemple réclamant l'axiome du choix :
<< pour toute surjection f : A -> B, il existe une injection g : B -> A telle que f o g = Id >>
Bien sûr, sur un exemple concret comme x -> cos(x) de R dans [-1,1], on n'a pas besoin de l'axiome pour trouver une fonction g ad hoc.

[Médiat]

Oui, mais les grands mathématiciens (tels Banach et Tarski...) étaient-ils / sont-ils nécessairement dénués du sens de l'humour ?

Nous n'avons pas la même définition du mot humour, ce qui me rassure, et rien ne vous empêche (sauf peut-être la modération, si tout est du même genre), d'abreuver le forum "Science ludique", du votre.

[invited6a8e0a5]

Difficile de faire passer des tests de distribution aléatoire à des nombres que l'on ne peut pas exhiber, et à quoi cela servirait-il ?


Je n'ai pas compris

Je ne connais pas ce théorème

Qui permet surtout de choisir une infinité de fois (mais là encore le mot hasard ne me paraît pas idéal)

Banach et Tarski sont des mathématiciens plus qu'honorables et dont le paradoxe mérite mieux qu'un jeu de mots vaseux.

La démonstration que tu n'a pas comprite (je continue dans le vaseux) me semble pourtant simple: F(R)=E0, F(R/E0)=E1, F(R/{E0,E1}=E2... Si l'on répète cette opération une infinité non dénombrable de fois, alors on obtient un bon ordre sur R. Cette idée provient de G.Cantor il me semble.

L'axiome du Choix est bien en équivalence stricte avec R bien ordonné cf. théorème de Zermelo.

Banach et Tarski sont des mathématiciens infiniments plus émérites que moi cela ne fait aucun doute, après

Bref ma question est donc toujours la même, c'est cette "possibilité" de tirer au hasard dans une infinité qui seule permet de bien ordoner R, on sait que l'on ne peur exhiber un quelconque algorithme permettant d'ordonner R.

R bien ordonné est en équivalence stricte avec l'axiome du choix, les mathématiciens chevronné voit-ils entres autres la possibilité de fabrication de vrai hasard derrière cet axiome si controversé ?

Merci à celui ou celle...

[leon1789]

F(R)=E0, F(R/E0)=E1, F(R/{E0,E1}=E2... Si l'on répète cette opération une infinité non dénombrable de fois (...)

On ne peut pas réitérer cette opération une infinité non dénombrable de fois, car vu la définition de l'opération, elle ne peut s'envisager qu'un nombre au plus dénombrable de fois car c'est une opération "par récurrence".
Ce que tu présentes est une application de l'axiome du choix dépendant.
Non ?

[Médiat]

La démonstration que tu n'a pas comprite (je continue dans le vaseux) me semble pourtant simple: F(R)=E0, F(R/E0)=E1, F(R/{E0,E1}=E2... Si l'on répète cette opération une infinité non dénombrable de fois, alors on obtient un bon ordre sur R. Cette idée provient de G.Cantor il me semble.

Notation non explicitée, récurrence transfinie non explicitée : je ne comprends toujours pas

L'axiome du Choix est bien en équivalence stricte avec R bien ordonné cf. théorème de Zermelo.

Je connais le théorème de Zermelo

Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément.

Ce que je sais pas (pas vu de démonstration) c'est que cette propriété pour un ensemble non dénombrable particulier permette de conclure pour tous les ensembles même ceux qui sont "infiniment" plus grands.

Bref ma question est donc toujours la même, c'est cette "possibilité" de tirer au hasard dans une infinité qui seule permet de bien ordoner R, on sait que l'on ne peur exhiber un quelconque algorithme permettant d'ordonner R.

R bien ordonné est en équivalence stricte avec l'axiome du choix, les mathématiciens chevronné voit-ils entres autres la possibilité de fabrication de vrai hasard derrière cet axiome si controversé ?

Déjà répondu : l'axiome du choix ne permet pas de construire quoi que ce soit.

[invited6a8e0a5]

On ne peut pas réitérer cette opération une infinité non dénombrable de fois, car vu la définition de l'opération, elle ne peut s'envisager qu'un nombre au plus dénombrable de fois car c'est une opération "par récurrence".
Ce que tu présentes est une application de l'axiome du choix dépendant.
Non ?

Je ne savais pas que reccurence induisait dénombrabilité, je ne suis pas une vedette merci de m'avoir renseigné.

J'ai du mal à me "figurer" l'axiome du choix dépendant, quelqu'un aurait-il une image ?

Toujours est-il que je n'avance toujours pas sur lessence de ma question, le hasard me semble être un ecellent processus de décision pour le choix total, existe t'il des formulations qui vont en ce sens, merci.

[Médiat]

On ne peut pas réitérer cette opération une infinité non dénombrable de fois, car vu la définition de l'opération, elle ne peut s'envisager qu'un nombre au plus dénombrable de fois car c'est une opération "par récurrence".

La récurrenc transfinie est tout à fait possible, cependant elle nécessite un traitement particulier, absent du texte cité.

[invited6a8e0a5]

Déjà répondu : l'axiome du choix ne permet pas de construire quoi que ce soit.

Oui et Non. Il postule, c'est bien pour cela que c'est un axiome.
Il postule l'existence d'une fonction (certes sans l'exhiber), soit g cette fonction, rien ne minterdit de poser g(P(R))= X par exemple.

Et le hasard (qui par définition ne peut être construit/exhiber) me semble un excellent candidat pour choisir, c'est uniquement la ou je veux en venir.

Quelqu'un a t'il un avis ?

Merci