Développement limité racine carrée

[invite718da89e]

Bonjour,
Je me demandais s'il existait un développement limité en 0 de la fonction racine carrée de x

En effet, je suis capable de montrer que le développement limité de (Arcsin(V(x)/2))/V(x) à l'ordre 1 en 0 existe
mais je suis incapable de trouver ce développement limité

Merci
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[Arkhnor]

L'existence d'un développement limité à l'ordre 1 en un point est équivalent à la dérivabilité en ce point, donc la fonction racine n'a pas de DL en 0. (à l'ordre 1)

Tu dois donc utiliser le Dl de arcsin en 0 (à un ordre suffisant) et la composition des DL.

[invite718da89e]

Je ne comprend pas, je laisse alors la racine carrée comme ca?

[invite718da89e]

En admettant que je laisse la racine telle quelle et que je travaille dessus après, je peux bidouiller qqch.

Mais je suis alors bloqué sur le développement limité à l'ordre 1 en 0 de:
qqsoit xE]-infini; 0[ f(x)=[ln(V(-x)+V(4-x))-ln2]/V(-x)

Selon l'énoncé, il faut utiliser le développement en 0 à l'ordre 3 de ln(1+x)

Je connais le développement en 0 à l'ordre 1 de 1/V(4-x)

Mais en travaillant dans le premier logarithme, j'ai à nouveau le problème de V(-x)

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkhnor]

Pour le premier DL, on a , avec .

Remplace donc par dans cette expression, pour en déduire une expression de , et essaye de reconnaître un DL à l'ordre 1.

Pour le second :

Remplace par son DL en 4 à un ordre suffisant, et injecte ça dans l'expression de ton logarithme, et ensuite utilise le DL suggéré par l'énoncé.

[invite718da89e]

Merci pour le premier, je l'avais trouvé mais je n'étais pas sur.

Pour le deuxième, je reste assez sceptique:
peut-on utiliser 1 DL en X à un ordre quelconque en l'injectant dans une expression où il faut trouver un DL en Y, avec X différent de Y?

[Arkhnor]

Quand tend vers , tend vers , et tu peux donc calculer le DL du logarithme en (ou en 1 si tu factorises par ) par composition des DL.

[invite718da89e]

J'ai trouvé
Merci pour tout!