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Développement limité racine carrée



  1. #1
    petitome

    Développement limité racine carrée


    ------

    Bonjour,
    Je me demandais s'il existait un développement limité en 0 de la fonction racine carrée de x

    En effet, je suis capable de montrer que le développement limité de (Arcsin(V(x)/2))/V(x) à l'ordre 1 en 0 existe
    mais je suis incapable de trouver ce développement limité

    Merci

    -----

  2. #2
    Arkhnor

    Re : Développement limité racine carrée

    L'existence d'un développement limité à l'ordre 1 en un point est équivalent à la dérivabilité en ce point, donc la fonction racine n'a pas de DL en 0. (à l'ordre 1)

    Tu dois donc utiliser le Dl de arcsin en 0 (à un ordre suffisant) et la composition des DL.

  3. #3
    petitome

    Re : Développement limité racine carrée

    Je ne comprend pas, je laisse alors la racine carrée comme ca?

  4. #4
    petitome

    Re : Développement limité racine carrée

    En admettant que je laisse la racine telle quelle et que je travaille dessus après, je peux bidouiller qqch.

    Mais je suis alors bloqué sur le développement limité à l'ordre 1 en 0 de:
    qqsoit xE]-infini; 0[ f(x)=[ln(V(-x)+V(4-x))-ln2]/V(-x)

    Selon l'énoncé, il faut utiliser le développement en 0 à l'ordre 3 de ln(1+x)

    Je connais le développement en 0 à l'ordre 1 de 1/V(4-x)

    Mais en travaillant dans le premier logarithme, j'ai à nouveau le problème de V(-x)

    Merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Arkhnor

    Re : Développement limité racine carrée

    Pour le premier DL, on a , avec .

    Remplace donc par dans cette expression, pour en déduire une expression de , et essaye de reconnaître un DL à l'ordre 1.

    Pour le second :

    Remplace par son DL en 4 à un ordre suffisant, et injecte ça dans l'expression de ton logarithme, et ensuite utilise le DL suggéré par l'énoncé.

  7. #6
    petitome

    Re : Développement limité racine carrée

    Merci pour le premier, je l'avais trouvé mais je n'étais pas sur.

    Pour le deuxième, je reste assez sceptique:
    peut-on utiliser 1 DL en X à un ordre quelconque en l'injectant dans une expression où il faut trouver un DL en Y, avec X différent de Y?

  8. #7
    Arkhnor

    Re : Développement limité racine carrée

    Quand tend vers , tend vers , et tu peux donc calculer le DL du logarithme en (ou en 1 si tu factorises par ) par composition des DL.

  9. #8
    petitome

    Re : Développement limité racine carrée

    J'ai trouvé
    Merci pour tout!

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