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Elements transcendants de K(X)



  1. #1
    Garnet

    Elements transcendants de K(X)


    ------

    Bonjour,

    Je cherche les elements transcendants sur K de K(X). Je pense que ce sont les fractions non-constantes, mais je n'arrive pas à le montrer. J'ai pense a utiliser la decomposition en elements simples et la decomposition en facteurs irreductible, mais je n'aboutis pas...
    Quelqu'un aurait-il une idee ? Vous pouvez eventuellement supposer K=R ou C, ou de caracteristique nulle.

    Merci.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    telchar

    Re : Elements transcendants de K(X)

    Bonjour,

    Supposons que f € K(X) soit algébrique sur K, soit P son polynôme minimal, qu'on peut supposer de degré n.

    Supposons que f a un pole d'ordre k en a.
    Alors f^2 a un pole d'ordre 2k en x, ..., f^n a un pole d'ordre nk en x.
    Par conséquent P(f) a un pole d'ordre nk en x, ce qui est absurde puisque P(f)=0.

    Donc f ne peut pas avoir de pole.

    Si f est algébrique, alors 1/f est algébrique aussi, donc 1/f n'a pas de pole.
    Autrement dit f n'a pas de zéro non plus et elle est constante.

  4. #3
    Ksilver

    Re : Elements transcendants de K(X)

    "Autrement dit f n'a pas de zéro non plus et elle est constante. " >>> (1+x²) dans R(x) ?

    mais bon l'argument fonctionne quand meme, mais il faut travailler avec une notion de pole dans la cloture algébrique...

  5. #4
    telchar

    Re : Elements transcendants de K(X)

    ah, oui, pardon, tout ça ne marche que dans un corps algébriquement clos.

    Bon, sinon, K est inclus dans sa cloture algébrique K' ; si f est algébrique sur K alors elle est algébrique sur K', etc..

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Garnet

    Re : Elements transcendants de K(X)

    Ah, en fait c'était simple. Merci.

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