Bonjour,
Je cherche les elements transcendants sur K de K(X). Je pense que ce sont les fractions non-constantes, mais je n'arrive pas à le montrer. J'ai pense a utiliser la decomposition en elements simples et la decomposition en facteurs irreductible, mais je n'aboutis pas...
Quelqu'un aurait-il une idee ? Vous pouvez eventuellement supposer K=R ou C, ou de caracteristique nulle.
Merci.
Bonjour,
Supposons que f € K(X) soit algébrique sur K, soit P son polynôme minimal, qu'on peut supposer de degré n.
Supposons que f a un pole d'ordre k en a.
Alors f^2 a un pole d'ordre 2k en x, ..., f^n a un pole d'ordre nk en x.
Par conséquent P(f) a un pole d'ordre nk en x, ce qui est absurde puisque P(f)=0.
Donc f ne peut pas avoir de pole.
Si f est algébrique, alors 1/f est algébrique aussi, donc 1/f n'a pas de pole.
Autrement dit f n'a pas de zéro non plus et elle est constante.
"Autrement dit f n'a pas de zéro non plus et elle est constante. " >>> (1+x²) dans R(x) ?
mais bon l'argument fonctionne quand meme, mais il faut travailler avec une notion de pole dans la cloture algébrique...
ah, oui, pardon, tout ça ne marche que dans un corps algébriquement clos.
Bon, sinon, K est inclus dans sa cloture algébrique K' ; si f est algébrique sur K alors elle est algébrique sur K', etc..
Ah, en fait c'était simple. Merci.
