Bonjour à tous,
En regardant cette page sur la fonction zêta de Riemann : http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html, on peut remarquer que les valeurs de la fonction aux impairs sont approximatives. Je sais pas que sur les pairs, il existe une formule liant la fonction aux nombres de Bernoulli permettant d'obtenir des valeurs exacts, mais pour les impairs, les valeurs sont-elles approximatives à cause de l'absence de méthode pour obtenir de valeur exacte ?
Merci d'avance
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Salut,
Exact, c'est un problème encore non résolu aujourd'hui.
On sait vraiment très peu de choses sur les valeurs de zeta en les entiers impair. Le résultat le plus "spectaculaire" à ce jour est le théorème d'Apéry, qui dit que zeta(3) est irrationnel.
"spectaculaire", parce que ce n'est vraiment pas grand chose (on aimerait montrer que zeta(3) est un nombre transcendant!), parce que malgré tout ça a été un résultat compliqué et surprenant, et parce qu'on ne voit pas comment étendre ça à zeta(5), zeta(7).... même si on a quelques résultats très, très partiels dans cette direction.
D'accord, merci à vous deux
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pendant que j'y suis : il est écrit sur wikipédia qu'il existe une formule exprimant le n-ième nombre premier en fonction des zéros non-triviaux de la fonction zêta, mais la formule n'est pas donnée ; quelqu'un l'aurait-il sous la main ?
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en fait on a pas trop difficilement :
Somme sur les p^m =< x de log p = x - somme pour u zéros non trivial des x^u/u - Zéta'(0)/Zeta(0)
Si la formule dont tu parle existe et est exacte alors elle doit s'obtenir à partir de celle ci... mais j'ai un petit doute sur le fait qu'on obtiendra bien une formule exacte, et pas juste une bonne approximation
La formule (exacte, mais pas d'un intérêt pratique formidable) donnée par Riemann est ici :
http://en.wikipedia.org/wiki/Explici...plicit_formula
Dans cette formule, je ne vois pas très bien l'apport que pourrait donner la confirmation de l'hypothèse de Riemann, puisque ce qui est nécessaire, c'est de connaître l'expression des zéros non-triviaux, et pas seulement que leur partie réelle est égale à 1/2, non ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Le plus gros terme de la formule est Li(x).
Le fait de savoir que f(x) est équivalent à Li(x) implique que pi(x) est équivalent à Li(x) (lui même équivalent à ln(x)/x ), ou encore que le n-ième nombre premier p_n est équivalent à n.ln(n)
Le terme "somme des x^u, pour u zéro de zeta", est un petit terme qui contrôle les variations de p_n autour de cette valeur moyenne n.ln(n), ou de pi(x) autour de Li(x).
Si l'hypothèse de riemann est vraie, alors les zéros sont de la forme 1/2 + it, donc x^u est de module x^(1/2).
Alors, en calculant un peu, on en déduit que pi(x) = Li(x) + O( x^(1/2).ln(x) ), ce qui est bien le genre d'estimation forte qu'on attend de l'HR.
D'accord, merci.
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