Fonction Zeta de Riemann

[}{uman]

Bonjour,
j'aimerais avoir vos avis s'il vous plaît, j'ai déja créer une discussion sur ce sujet mais personne ne répond. On considère donc la somme partielle de la fonction zeta de Riemann:



Quelle est la valeur de:

\qquad ?[/TEX]

Voici certains résultats que j'ai réussi à démontrer, mais la démonstration est délicate:







De manière générale si on prend:



alors on a:


comment démontrer ce résultat?

Si vous avez des idées de démonstrations n'hesitez surtout pas.
J'attens vos idées avec impatience.
Merci, }{uman.
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[haciol]

Pourrais tu préciser ce que tu désigne par p et q?
Sinon la formule est vraiment jolie et vaut le coût qu'on y regarde de plus près. J'espère que je pourrais t'aider...

[}{uman]

Bonsoir Haciol,
merci de me répondre, les p et q sont des nombres entiers dépendant de nu et theta. J'ai montré par exemple que l'on avait:





Je ne suis pas allé plus loin dans les cas particuliers car les calculs sont fastidueux! Concernant ces fractions celles-ci sont intimement liées aux nombres de bernoulli. Je pense qu'il existe une relation de récurrence entre ces nombres.
Ton aide est la bienvenue,
Merci encore.

[martini_bird]

Salut,

je trouve que

Voici le détail du calcul.

D'une part, en inversant l'ordre de sommation :


On isole le terme pour h=0 afin d'utiliser le fait que si h>0 :



Par ailleurs, puisque si k>0 :



La formule s'obitent finalement en prenant la somme des égalités (*) et (**).

Cordialement.

PS : désolé pour les inévitables coquilles qui doivent rester...

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

je donne une autre démonstration de la formule précédente, qui à mon avis devrait pour voir se généraliser plus aisément.

Soit donc



que j'écris sous la forme



Soit le nombre de façon possible d'écrire n sous la forme d'un produit hk tel qu'imposé dans la série précédente, de sorte que :




Il n'est pas difficile de voir que est égal à la moitié du nombre de diviseur de n, sauf si n est un carré, auquel cas, il suffit d'ajouter 1/2 :



On aboutit ainsi au fait que



en utilisant l'identité bien connue que l'on peut trouver par exemple ici.

Cordialement.

[martini_bird]

Salut,

je soumets la conjecture suivante :

J'ai démontré la formule pour . Par ailleurs, elle redonne tes résultats numériques pour .

Enfin, puisque



on peut appliquer la même méthode de comptage, sans toutefois passer par le nombre de diviseurs mais en constatant que si , les coefficients sont égaux au nombre d'écritures de n comme produit de k nombres.

Cordialement.

[}{uman]

Salut,

Tes résultats sont vraiment superbes!!
Cela m'aide beaucoup pour mon étude.
Pour j'avais trouvé la formule suivante:



Avec le coefficient tel que:

et

De la même manière on montre que:




Merci Martini_bird,

[breukin]

Je te propose par ailleurs de simplifier et soulager les écritures en prenant la classique somme infinie commençant par 1 et non 0. Donc pour n>0 :


Ce ne sont pas exactement les mêmes fonctions (un petit décalage), mais ce choix de définition me paraît plus judicieux. En général, dans les fonctions de la théorie des nombres, les sommations commencent à 1 et non 0, et ça fait en général des formules plus jolies.

[martini_bird]

Salut,

tes coefficients (que j'ai rebaptisé , mais on s'en fout) sont la somme d'une série de Dirichlet où est le nombre d'écritures possibles de n comme produit de k entiers tous distincts.

Pas étonnant qu'il y ait un lien avec la fonction : on peut déduire de nos messages les expressions de et et j'ai estimé par ailleurs que l'on doit avoir :

.

Cependant, ma conjecture tombe visiblement en défaut pour : on doit bien avoir , mais pour la suite, ça se complique amplement. Ce n'est toutefois pas si étonnant lorsqu'on examine le dénombrement à effectuer au message #6, pour lequel je sèche lamentablement depuis deux jours.

Cordialement.

[}{uman]

Bonjour,
cela fait plusieurs jours que je cherche une formule pour les mais la tâche est très difficile. Conçernant la conjecture, elle tombe visiblement en défaut pour .
Je suis sur une piste: on peut construire n'importe quel coefficient à partir de la partition de l'entier k.

Le nombre de termes constituant est égal à P(k) où P(k) est le nombre de partition de l'entier k.

Par exemple: P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3,P(4)=5,...
Par ailleurs, le nombre de signe - dans l'expression de est égal à et par conséquent le nombre de signe + est avec P(k)=0 pour

Ce ne sont que des observations que j'essais maintenant de formaliser.

Voila merci!

[invite392a8924]

Salut,

je trouve que

Voici le détail du calcul.

D'une part, en inversant l'ordre de sommation :

tu verifier les droit d'inverssions des signes de sommations?

[invite392a8924]

Salut,

je trouve que

Voici le détail du calcul.

D'une part, en inversant l'ordre de sommation :

tu verifier les droits d'inverssions des signes de sommations?


comme la convergance uniforme des series.

[martini_bird]

Salut,

si tu veux, on peut aussi redémontrer que la série de Riemann est bien convergente dans le plan Re(s)>1... Si tu posais vraiment une question, je suis néanmoins convaincu que tu as tous les outils pour vérifier que l'interversion des signes de sommations est valide.

Cordialement.

[invite392a8924]

Salut,

si tu veux, on peut aussi redémontrer que la série de Riemann est bien convergente dans le plan Re(s)>1... Si tu posais vraiment une question, je suis néanmoins convaincu que tu as tous les outils pour vérifier que l'interversion des signes de sommations est valide.

Cordialement.

c'est il est crucial de voire tout les outils analytiques qui sont necéssaires.

L'inverssion des signes de sommations conditionne la convergence uniforme des deux series.

bon courage.

[martini_bird]

Salut,

Bonjour,
cela fait plusieurs jours que je cherche une formule pour les mais la tâche est très difficile.

Avec les messages très constructifs de lobachevsky, j'ai zappé le tien cet après-midi. Je me rattrape car après quelques pages de brouillons infâmes, j'ai mis en évidence une relation de récurrence entre les :

Enjoy !

Cordialement.

[}{uman]

Salut,

Pourrais tu préciser comment tu es arrivé à cette relation stp?

Ma méthode de construction des coefficients utilise l'écriture du nombre k comme somme d'entier strictement positif. Prenons un exemple disons k=5:

5=5

=4+1

=3+2

=3+1+1

=2+2+1

=2+1+1+1

=1+1+1+1+1

Ce qui permet d'écrire:

Cette méthode est vraiment incroyable car elle nous permet de dire directement par exemple que:

ou encore



Enfin on voit à quel point l'écriture des coefficients comme combinaison des fonctions zeta est ardu: contient déja 56 termes, 176 termes, 231 termes,.....

Cordialement,

[martini_bird]

Salut,

Pourrais tu préciser comment tu es arrivé à cette relation stp?

Si n est fixé, le calcul de revient à dénombrer le nombre d'écritures d'un entier k comme le produit de n entiers distincts: la formule s'en déduit par récurrence en ôtant à (qui exprime le nombre total d'écritures de n comme produit de k entiers) tous les cas où dans le produit apparaissent au moins deux facteurs identiques... Ta méthode par les partitions doit s'y ramener d'une manière ou d'une autre (et vice et versa ).

Cette méthode est vraiment incroyable car elle nous permet de dire directement par exemple que:

Pardonne-moi, mais je ne vois rien d'incroyable : après tout, ce n'est qu'une somme homogène de termes impliquant des ...

Cordialement.

[martini_bird]

Salut,

Enfin on voit à quel point l'écriture des coefficients comme combinaison des fonctions zeta est ardu: contient déja 56 termes, 176 termes, 231 termes...

Il faudrait au préalable démontrer qu'aucun de ces termes n'est nul (ce dont je doute mais bon, tu as risqué d'être rappelé à l'ordre par lobachevsky... ).

Cordialement.

[}{uman]

Salut,

merci pour tes indications Martini_bird,
Autre chose que je voulais te demander qui n'a réellement rien à voir dans cette discussion. J'ai déja créer une discussion sur les racines continues mais personne ne me répond: sais-tu s'il existe des choses faites sur ces objets?

cordialement,

[martini_bird]

Salut,

Ramanujan a écrit un certain nombres de formules contenant des racines de ce type, mais je ne connais pas de réf qui en étudie la théorie. Du reste, on peut toujours voir l'objet comme une suite définie par récurrence.

Cordialement.

[}{uman]

Re-salut,
j'avais déja essayé d'aborder le problème sous cet angle: on peut écrire la racine continue comme une suite récurrente non-linéaire:





et je me suis heurté à la non linéarité de cette équation.

Par contre j'ai étudié d'autres racines continues beaucoup plus abordables, par exemple:



où est la solution de plus petit module (réelle positive) de l'équation

Par exemple si n=2:



Savez vous comment résoudre les équations de récurrences non linéaires ?

Cordialement,

[martini_bird]

Salut,

je n'ai pas grand chose de neuf, je voulais simplement savoir d'où te vient ce problème, }{uman ?

Cordialement.

[}{uman]

Bonjour Martını Bırd,

En faıt je me suıs ınteresse a ces objets juste par curıosıte: j'essaı de trouver des proprıetes partıculıere de ces objets. A vraı dıre le lıvre de Ramanujan, "Ramanujan's lost notebook" sur les fractıons contınues m'a beaucoup ınspıre. Sı tu as du nouveau je seraıs ravı de voır tes resultats!

Desole pour la reponse tardıve,
Cordıalement