Je pense que ca doit etre une question recurrente mais bon je netrouve pas la réponse..... Comment prouver que les nombres pairs negatifs sont des zeros triviaux .... A part utiliser l'équation fonctionnelle avec la fonction gamma et remarquer que le sinus s'annule en ces points je ne voie rien .... La réponse doit etre évidente dans ce cas excusez mon ignorance
Salut !
Il faut d'abord montrer que la fonction Zeta est bien définit pour les entier négatif pair ! ie qu'elle ce prolonge en une fonction méromorphe (elle est initialement définit pour Re(s)>1, elle ce prolonge bien a Re(s)>0, mais apres il y a du travaille pour continuer)
La question est donc d'abord, comment prouve tu que la fonction Zeta s'etend bien en une fonction Méromorphe, il y a plein de facon de faire (prouver l'équation fonctionelle en est une) et chaque methode fournit en géneral une expression qui permet de montrer que la foncion Zeta s'annule au entier négatif pair.
Merci ! Donc on est bien obligé de passer par l'équation fonctionnelle ? Il n'existe pas une facon plus scolaire de se debrouiller avec la somme infinie ? J'm'attendais pas a une formule magique mais j'pensais qui y'avait une pétite méthode genre maths spé pour prouver ca ! Bah tant pis merci quand même!
La methode classique est en effet l'equation fonctionelle ca peut ce faire niveaux spé, modulo la formule somatoire de poisson et pas mal de calcule assez difficle. (disont un bonne eleve de spé quoi)
on peut aussi le faire en passant par la forme Zeta(s)=1/gamma(s)*intégral de t^(s-1)/(exp(t)-1) pour t de 0 à l'infinit
(sais tu prouver cette formule ? c'est un classique de taupe)
en fait on part d'une fonction f quelconque infiniement dérivable, à décroissance rapide à l'infinit et dont toute les dérivé sont à décroissanre rapide à l'infinit, et on pose g(s)=1/gamma(s)*intégral t^(s-1)*f(t) dt pour t de 0 à l'infinit
c'est à priori définit pour Re(s)>0
ensuite par une petit Ipp, on montre que g(s)=-1/gamma(s+1)*intégral t^s*f'(t)dt
qui est en revanche définit pour Re(s)>-1
puis en itérant le processus g(s)=(-1)^k/gamma(s+k)*intégral de t^(s-1+k)*fk(t)dt
pou fk désigne la dérivé la dérivé k-iemme.
cette expression est elle définit pour Re(s)>-k, donc on prouve que g ce prolonge bien en une fonction méromorphe sur C.
apres il faut utiliser cette formule pour calculer g(-k) et pour cela on ecrit que pour k entier
g(-k)=(-1)^(k+1)/gamma(-k+k+1)*intégral de t^0*f(k+1)(t)dt =(-1)^k*fk(0)
tu applique tous ceci à la fonction t/(exp(t)-1) qui vérifie bien les hypothèse (C infinit à décroissance rapide et toute ces dérivé sont aussi à décroissance rapide)
et tu obtiens g(s)=s*Zeta(s+1) ou qqch comme ca.
apres tu trouve que les valeur aux entier négatif de Zeta sont rélie au dérive n-iemme de t/(exp(t)-1) qui sont par définition les nombres de bernoulli et dont un sur deux et nul c'est exactement ce que tu cherche.
toute les etapes de calcule sont justifiable en spé, (enfin on admet l'unicité du prolongement analytique... mais à la limite ca peut ce justifier en spé, ca fait juste du travail en plus). mais j'ai été un peu vite : je t'invite à reprendre les calcules à la main (exelent exercie de spé!), et si tu bloque sur un étape revien demander ici !
note que accessoirement, apres avoir fait tous sa en utilisant l'equation fonctionelle tu en déduis la valeur de la fonction Zeta à tous les entier pair en terme de nombre de bernoulli.
Pour l'équation fonctionnelle, il n'y a pas besoin de la formule sommatoire de Poisson. Mais des formules de résidus, oui.
Le principe, c'est de partir de la formule intégrale indiquée avec la fonction gamma, pour Re s>1, puis d'en déduire une formule intégrale valable sur C (sauf Z) par un contour judicieux (qui passe de l'infini réel sur Im z>0 à l'infini réel sur Im z<0 en contournant 0 dans le sens direct.
Puisque cette formlule intégrale prolonge sur C sauf Z, on peut tenter de l'évaluer pour 1-s, avec Re s>1. Et en examinant les pôles, qui se situent sur l'axe imaginaire, on fait apparaître la série zeta s en sommant les résidus.
Je connais pas cette methode, personellement j'utilise la formule somatoire de poisson pour montrer la modularité de la fonction theta, et on ecrit que la fonction Lambda de l'equation fonctionelle comme une transformé (dite de meulin) de la fonction theta... apres c'est juste des petite manipulations d'intégrales (on fais le changement de variable qui corespond à la modularité de la fonction theta... )
