Physique et mathématique, intégrales, d et delta.

[invitea250c65c]

Bonsoir à tous,

J'ai un peu de mal à comprendre dans le fond certaines choses que l'on fait en physique, et comme ça relève des maths je poste ça ici.

Je croyais avoir compris la différence entre la notation et la notation .
Pour moi, physiquement, le représente une différence infinitésimale de la grandeur contrairement au qui représente une quantité infinitésimale de la gandeur .
Ca se voit mieux en sommant : alors que , schématiquement, et .
Est-ce ça ?
Mais depuis qu'on a fait l'electrostatique c'est confus, parce qu'on écrit ou q et Q représentent des charges et [AB] un segment de fil chargé.
Mais pourtant il s'agit bien là de quantités élémentaires de charges que l'on somme non ? Pourquoi pas un ?
Je sais que mathématiquement le est une différentielle ( je verrais ça en détails l'an prochain).
Mais jamais entendu parlé du en maths. Ca existe ? Comment peut-on rendre compte de cette notion relativement proprement ? (et relativement simplement pour un bac+1, parce que j'ai entendu parler d'analyse non standart et d'infiniments petits mais c'est tout récent, alors je pense que j'aurais du mal à comprendre tout ça).

Pouvez-vous s'il vous plait me donner une réponse mathématique et une réponse physique à la question, parce que j'ai déjà eu des réponses des deux côtés mais jamais personne ne m'a dit "alors mathématiquement on définit ça comme ça [...] ce qui correspond bien à cette notion physique de somme d'infiniments petits ...".

J'en profite pour vous demander si vous connaissez une bonne référence (livre, site, ...) qui explique les liens entre physique et mathématiques, qui soit aussi rigoureux que les livres de maths de prépa côté maths tout en donnant en parallèle les explications avec les mains et les applications en physique.

Merci d'avance.
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[invitea250c65c]

J'ai oublié les bornes d'une intégrale. Voici ce qu'il fallait lire :

Ca se voit mieux en sommant : alors que , schématiquement, et .

[invite93e0873f]

Salut Electrofred,

Étant donné qu'il s'agit d'une question que je me suis déjà posée et qu'il ne s'agit néanmoins pas encore de quelque chose dont j'ai pris l'habitude, j'aimerais te faire part ici de ce que j'en ai compris, bien que mon commentaire ne soit probablement pas exempt d'erreurs et d'incompréhension. Bref, une discussion entre gens qui souhaitent apprendre

Mathématiquement, le (où x est une variable pas nécessairement d'espace comme c'est souvent le cas en physique) 'représente' (c'est encore assez subtil... il y a plusieurs théories sur le sujet) la différentielle d'une variable, une petite différence de celle-ci et apparaît dans des équations différentielles exactes. Au contraire, le apparaît dans des équations différentielles inexactes.

On peut voir ce à quoi ça correspond physiquement lorsqu'on fait le traitement mathématique (suffisamment rigoureux) d'une situation étudiée par la physique. Les équations différentielles exactes se retrouvent dans les situations physiques où le 'comportement' général d'une variable (disons, la charge totale d'un corps macroscopique à partir de la charge infinitésimale de ses infinitésimales parties) ne dépend pas 'de la façon' dont on a tenté de trouver ce 'comportement'. Par exemple, peu importe pour la charge que tu commences par sommer ensemble les charges infinitésimales du rebord, puis celles un peu plus à l'intérieur de l'objet, puis celles un peu plus à l'intérieur, ... ou que tu sommes d'un coup celles de tel hémisphère de l'objet à celles de l'autre ou etc., tu obtiendras toujours la même charge pour l'objet au total. À l'inverse, les équations différentielles inexactes apparaissent dans l'étude des phénomènes qui dépendent 'de la façon' dont le système évolue. Par exemple, si tu prends le transfert de chaleur entre deux objets initialement à des températures T1 et T2 et finissant en équilibre thermique. Dépendamment du fait que les deux objets se transmettre la chaleur directement, ou si tu mets un autre objet entre les deux, etc. la quantité de chaleur totale perdue par l'un ne saura pas la même tout dépendant de la façon dont la chaleur est communiquée du corps le plus chaud au plus froid. On utiliserait donc des quantités infimes pour représenter les échanges infimes de chaleur.

Aussi, physiquement, je pense que les quantités x qui s'expriment comme somme de dx sont des choses mesurables, tandis que les quantités x qui s'expriment de l'autre façon ne se mesurent pas tout à fait (on ne peut pas dire par exemple 'un corps possède tant de chaleur').

Je pense que mes explications expriment mes limites sur le sujet ^^mais je te recommanderais peut-être de regarder sur wikipédia 'notation delta' ou sur le site sciences.ch ce qui porte sur le calcul différentiel où on aborde les équations exactes et inexactes.

[Seirios]

Bonjour,

Dans un Pérez, nous trouvons ceci :

On appelle différentielle d'une fonction f, qui admet des dérivées partielles dans une partie de , l'application linéaire définie sur l'espace vectorielle par :

étant le vecteur de composantes et les valeurs que prennent respectivement les différentielles dx, dy et dz sur le vecteur ; en effet, si f(x,y,z)=x, on a :

Il en résulte que . De même pour . Nous retiendrons donc l'écriture :
.

Soient P(u,v,w), Q(u,v,w) et R(u,v,w) trois fonctions de variables (u,v,w). La quantité :

est une forme différentielle de degré 1.
A priori, cette quantité n'est pas la différentielle d'une certaine fonction f puisque P, Q et R ne sont pas nécessairement des dérivées partielles, d'où la notation dinstincte de d.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Regarde là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_d..._degr%C3%A9_un

[invitec317278e]

pour comprendre, la différence fondamentale est, très brièvement, que les delta s'emploient lorsque la résultante dépend du "chemin suivi"