Encore des polynômes

[invite02df1ea1]

Bonjour! Je suis encore sur mon DM, et j'ai un petit problème.
On demande de trouver tous les n de IN* tels que (X^2+X+1)^2 divise Pn=X^2n +X^n +1.
Je m'y suis prise d'une certaine manière, mais au bout d'un moment je bloque. Je dis:
Soit n dans IN*. Supposons que (X^2+X+1)^2 divise
X^2n +X^n +1.
Alors (X-j)^2(X-jj)^2 divise X^2n +X^n +1(où jj désigne j barre).
Donc j et jj sont racines doubles de X^2n +X^n +1 donc aussi racines de Pn'.
Autrement dit, j^2n +j^n +1=0
jj^2n +jj^n +1=0

et 2n.j^(2n-1) + n.j^(n-1)=0 càd 2j^n +1=0
2n.jj^(2n-1) + n.jj^(n-1)=0 càd 2jj^n +1=0
Ceci me donne, au vu des deux dernières lignes, que l'ensemble des n recherchés est l'ensemble vide, car pour tout n, 2j^n +1 est non nul.
Où est l'erreur? Avez-vous une autre méthode?
(Je suis désolée si c'est un peu compliqué à lire!!)
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[invitebfd92313]

je ne vois pas d'erreur dans ton raisonnement. Es-tu sure que l'énoncé par le de (X²+X+1)² et pas seulement de X²+X+1 ?

[invite02df1ea1]

Oui, je suis sûre!! C'est bizarre alors... Peut-être que ce qu'il fallait trouver, c'était l'ensemble vide!
Merci en tout cas.

[NicoEnac]

Bonjour,

Dans Pn, si on fait le changement de variable Y = Xⁿ, on s'aperçoit que les racines de Pn(Y) sont j et jj (comme tu le notes).
Les racines de Pn(X) sont donc les racines n-ièmes de j et jj.

Si (X²+X+1)² divise Pn, cela signifie qu'au moins 2 racines n-ièmes de j sont égales à j et qu'au moins 2 autres sont égales à jj. Ce qui est faux (ça se prouve sans trop de difficultés).

La solution est donc bien l'ensemble vide.

[A voir en vidéo sur Futura]