Arithmétique des polynômes
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Arithmétique des polynômes



  1. #1
    invited34f3bcf

    Arithmétique des polynômes


    ------

    Salut,
    Si on a trois polynômes A,B et C,est ce qu'on a la propriété suivante :
    Si A divise B et A ne divise pas C alors A ne divise pas (B+C)?
    merci d'avance.

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : arithmétique des polynômes

    Citation Envoyé par J.M.M Voir le message
    Salut,
    Si on a trois polynômes A,B et C,est ce qu'on a la propriété suivante :
    Si A divise B et A ne divise pas C alors A ne divise pas (B+C)?
    merci d'avance.
    Si A divise B, il existe P tel que B = PA.

    Supposons que A divise (B+C), il existe alors Q tel que (B+C) = QA.
    Mézalor C = (B+C)-B = (Q-P)A, et A divise C.

    Par contraposition : si A ne divise pas C, alors A ne divise pas (B+C).

  3. #3
    cedbont

    Re : arithmétique des polynômes

    Bonjour,
    oui, tu obtiens ce résultat en étudiant la somme des restes de B/A et de C/A qui est égale à celui de C/A et donc non-nul et qui est aussi le reste de (B+C)/A (attention, seulement car B est divisible par A).
    Sauvons les traders !

  4. #4
    invitec053041c

    Re : arithmétique des polynômes

    Bonsoir.

    C'est effectivement le cas.

    Posons AQ=B et A ne divisant pas C.
    On suppose que A divise (B+C), alors
    AP=(B+C)
    C=AP-B=A(P-Q) donc A divise C..

    EDIT: doublement grillé, et bien !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invited34f3bcf

    Re : arithmétique des polynômes

    merci,vous êtes vraiment des pros
    alors une autre question
    je comprends pas l'égalité suivante
    si Q est le pgcd de A et B alors Q.K[X]=A.K[X]+B.K[X]
    la preuve n'est pas délicate mais le théoreme en lui meme n'est pas imaginable pour moi

  7. #6
    invite57a1e779

    Re : arithmétique des polynômes

    Citation Envoyé par J.M.M Voir le message
    merci,vous êtes vraiment des pros
    alors une autre question
    je comprends pas l'égalité suivante
    si Q est le pgcd de A et B alors Q.K[X]=A.K[X]+B.K[X]
    la preuve n'est pas délicate mais le théoreme en lui meme n'est pas imaginable pour moi
    P.K[X] est l'ensemble des multiples de P.

    Ton égalité est en fait la conjonction de deux inclusions :
    – celle de A.K[X]+B.K[X] dans Q.K[X] : ça te dit que la somme d'un multiple de A et d'un multiple de B est un multiple de Q, rien de bien sorcier puisque A et B sont eux-mêmes multiples de Q, seul le fait que Q soit un diviseur commun intervient ici) ;
    – celle de Q.K[X] dans A.K[X]+B.K[X] : ça te dit que tout multiple de Q se décompose en la somme d'un multiple de A et d'un multiple de B, ce qui est plus fin et vrai uniquement parce que Q est le plus grand commun diviseur de A et B.

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