Arithmétique des polynômes

[J.M.M]

Salut,
Si on a trois polynômes A,B et C,est ce qu'on a la propriété suivante :
Si A divise B et A ne divise pas C alors A ne divise pas (B+C)?
merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Salut,
Si on a trois polynômes A,B et C,est ce qu'on a la propriété suivante :
Si A divise B et A ne divise pas C alors A ne divise pas (B+C)?
merci d'avance.

Si A divise B, il existe P tel que B = PA.

Supposons que A divise (B+C), il existe alors Q tel que (B+C) = QA.
Mézalor C = (B+C)-B = (Q-P)A, et A divise C.

Par contraposition : si A ne divise pas C, alors A ne divise pas (B+C).

[cedbont]

Bonjour,
oui, tu obtiens ce résultat en étudiant la somme des restes de B/A et de C/A qui est égale à celui de C/A et donc non-nul et qui est aussi le reste de (B+C)/A (attention, seulement car B est divisible par A).

[invitec053041c]

Bonsoir.

C'est effectivement le cas.

Posons AQ=B et A ne divisant pas C.
On suppose que A divise (B+C), alors
AP=(B+C)
C=AP-B=A(P-Q) donc A divise C..

EDIT: doublement grillé, et bien !

[A voir en vidéo sur Futura]

[J.M.M]

merci,vous êtes vraiment des pros
alors une autre question
je comprends pas l'égalité suivante
si Q est le pgcd de A et B alors Q.K[X]=A.K[X]+B.K[X]
la preuve n'est pas délicate mais le théoreme en lui meme n'est pas imaginable pour moi

[invite57a1e779]

merci,vous êtes vraiment des pros
alors une autre question
je comprends pas l'égalité suivante
si Q est le pgcd de A et B alors Q.K[X]=A.K[X]+B.K[X]
la preuve n'est pas délicate mais le théoreme en lui meme n'est pas imaginable pour moi

P.K[X] est l'ensemble des multiples de P.

Ton égalité est en fait la conjonction de deux inclusions :
– celle de A.K[X]+B.K[X] dans Q.K[X] : ça te dit que la somme d'un multiple de A et d'un multiple de B est un multiple de Q, rien de bien sorcier puisque A et B sont eux-mêmes multiples de Q, seul le fait que Q soit un diviseur commun intervient ici) ;
– celle de Q.K[X] dans A.K[X]+B.K[X] : ça te dit que tout multiple de Q se décompose en la somme d'un multiple de A et d'un multiple de B, ce qui est plus fin et vrai uniquement parce que Q est le plus grand commun diviseur de A et B.