Arithmétique des polynômes - élément irréductible

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

Je sens bien que je pose une question... bête, mais il me faut absolument le résultat qui suit :
(on travaille dans K[X])

Si P est irréductible alors :
quelque soit Q dans K[X], P|Q ou pgcd(P,Q)=1

ma définition d'irréductible étant :
Si P=AB alors A ou B est un élément inversible de K[X]
et comme les éléments inversibles de K[X] sont les constantes non-nulles...

Bref, soit Q dans K[X]
alors ou P|Q ou P ne divise pas Q si tel est le cas, je veux montrer
pgcd(P,Q)=1
la définition du pgcd étant : pgcd(P,Q) = (P) + (Q) (avec une petite normalisation au passage pour avoir l'unicité)
Si P ne divise pas Q, c'est que
(Q) n'est pas inclus dans (P)
ie : P= AQ + B
il faut que j'arrive à montrer que B est une constante...

mon idée serait d'arriver à écrire BC=1 (et pouf : conclusion)

Mais bon... je n'y arrive pas (et je sens que c'est tout bête...)

merci de votre aide !

(ah oui, tout ça c'est pour démontrer qu'un élément irréductible est premier dans K[X] )


Romain

PS : peut-être me dirigé-je vers une mauvaise direction (c'est français ça ?) ?
On pourrait aussi essayer la contraposée :
P ne divise pas Q et pgcd(P;Q) est différent de 1
entraine que P n'est pas irréductible...

ie P=AQ+B (div euclidienne) et B n'est pas une constante

(j'ai essayé aussi... mais bof)
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[Romain-des-Bois]

J'ai une autre idée de preuve... mais j'aimerais bien qu'on me la confirme (ou le contraire éventuellement)

lemme immédiat :
pgcd(P,Q)=1 <=> les seuls diviseurs communs à P et Q sont les constantes non-nulles

en effet, si A de degré supérieur ou égal à 1 divise P et Q alors le statut de pgcd est contredit
pour la réciproque c'est immédiat


Soit P irréductible et soit Q dansK[X]

Soit pgcd(P,Q)=1 soit pgcd(P,Q) différent de 1
si tel est le cas, il existe A de degré supérieur ou égal à 1 tel que A|P et A|Q

donc P=AB mais comme P est irréductible et A est de degré supérieur ou égal à 1, alors B est inversible donc : A=P.B^-1
Alors Q=AB'=P.B^-1 B' CQFD

[Romain-des-Bois]

Toujours dans le même ordre d'idée (le même domaine quoi), je cherche une idée de la preuve de la célèbre relation : (dans K[X])
ppcm(P,Q).pgcd(P,Q)=PQ


J'ai bien quelques idées... ça n'aboutit pas

merci !

[invited04d42cd]

En générale, on prouve que si pgcd(P,Q) = 1, alors ppcm(P,Q) = PQ.

Tu le prouves par :
ppcm(P,Q) = (P) inter (Q)
donc P|ppcm(P,Q) et Q|ppcm(P,Q)
et alors, puisque pgcd(P,Q) = 1, on a PQ|ppcm(P,Q),
ensuite par déf ppcm(P,Q)|PQ car PQ (P) inter (Q).

Pour généraliser, tu pose P=P'pgcd(P,Q), Q=Q'pgcd(P,Q) et tu appliques ce qui précède à P' et Q' :
PQ = (P'Q')pgcd(P,Q)^2 = ppcm(P',Q')pgcd(P,Q)^2 = ppcm(P,Q)pgcd(P,Q)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Salut !

merci beaucoup pour ton coup de main


Romain