Bonjour, on me demande de montrer que le polynome :
(X-1)(X^pq-1) est divisible par le polynome :
(X^p)(X^q), ou p et q sont deux entiers premiers entre eux. Je comprends pas pourquoi dire que toutes les racines du second sont aussi racines du premier ne suffit pas...?
Salut,
Première je pense qu'il y a une erreur de frappe.
Ensuite, ce que tu dis ne marche pas pour un problème d'ordre de racine. (X-1) et (X-1)^2 ont les mêmes racines, mais le deuxième ne divise pas le premier.
Ici le fait que p et q soit premier entre eux donne que les racines de X^p-1 et X^q-1 ne se recoupent pas (sauf la racine 1, c'est pour ça qu'il faut le facteur X-1 dans le premier polynome) et donc ça marche.
En espérant être clair ...
As-tu démontré que la multiplicité des racines du second polynôme est inférieure ou égale à la multiplicité des racines du premier ?
Un simple exemple : les racines de (X-5)2 sont aussi racines de (X-5), et je pense que tu es d'accord pour dire que (X-5)2 ne divise pas (X-5)
EDIT : eh voilà, on prend son temps, et on se fait griller(au moins on a pris deux exemples différents...
Oui effectivement c (X^p-1) et (X^q-1)Envoyé par GuYem
Merci pour vos explications, je comprends mon erreur, mais alors en général comment caractériser la divisibilité d'un polynome par un autre en terme de racines ? Merci pour cette info.
En terme de racines (en supposant que toutes tes racines soient dans le corps où tu travailles, C est bien pour ça) :
notant y_i les racines de Q, a_i leurs ordres respectifs
notant z_i les racines de P, b_i leurs ordres respectifs, on a
Q | P <==> a_i < b_i pour tout i.
Ce n'est rien d'autre que d'utiliser la factorialité de l'anneau C[X] et de dire que ses irréductibles sont les polynomes de degré 1.
Je ne comprends pas ton explication,( ou alors il ya une erreur de frappe ? ) les y_i et les z_i doivent verifier y_i=z_i non ? Car si les racines ne sont pas communes ca marche pas ? De plus l'inégalité a_i < b_i pour tout i. peut elle etre large ? (par exemple, un polynome se divise lui meme !)
Un polynome P de degré n est entièrement caractérisé par la liste de ses [exactement !] n racines.
Pour que ce polynome divise un autre polynome Q (de degré évidemment > ou = n), il faut que l'ensemble des n racines soit inclus au sens large dans l'ensemble des racines de Q. Cela découle simplement du fait qu'on peut exprimer un polynome comme le produit (X-x0). (X-x1)....(X-xn) , les xi étant les racines. Les monomes comptent chacun pour un élément de l'ensemble. Une racine double (triple etc.) compte pour 2 (3 etc.).
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Danyvio a redit ce que je disais de manière plus claire.
Je vais réécrire également ce que je voulais dire : prends toutes les racines de deux polynômes et appelle les les z_i. Appelle a_i l'ordre de z_i pour P et b_i l'ordre de z_i pour Q. Les a_i et les b_i sont autorisés à être nuls si z_i n'est pas racine de P ou de Q.
Exemple pour fixer les idées :
L'ensemble des z_i est, et on a :
Ca marche dans tous corps algébriquement clos ; ou bien pour deux polynômes scindés sur un anneau commutatif (intègre ?) quelconque.
Alors
Ca marche pour tout corps algébriquement clos ou bien pour deux polynômes scindés sur un anneau (intègre ?) commutatif.
