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Exo arithmétique



  1. #1
    chr57

    Exo arithmétique


    ------

    bonjour,

    j'aurai besoin d'aide pour 2 questions de problème :
    la 2.b et 3.b :

    1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x :

    Dans toute la suite de l'exercice, on considère un nombre entier a supérieur ou égal à 2.

    2. (a) Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n : n = dk.
    Montrer que est un diviseur de

    (b) Déduire de la question précédente que est divisible par 7, par 63
    puis par 9.

    3. Soient m et n deux entiers naturels non nuls et d leur PGCD.
    - (a) On définit m' et n' par m = dm' et n = dn'. En appliquant le théorème de Bézout à m' et n', montrer qu'il existe des entiers relatifs u et v tels
    que : mu - nv = d.

    - (b) On suppose u et v strictement positifs.
    Montrer que :

    Montrer ensuite que est le PGCD de et

    (c) Calculer, en utilisant le résultat précédent, le PGCD de et de
    Mon soucis à la 2.b :

    Donc divise
    Mais je ne pense pas qu'on puisse généraliser à la réponse.

    Pour la 3.b, je n'arrive pas à montrer le deuxième point.

    Merci de votre aide.

    -----
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  2. #2
    Jeanpaul

    Re : Exo arithmétique

    Regarde si 2004 est divisible par certains nombres, dont 3 et 4.
    Dès lors, tu peux appliquer la relation démontrée en faisant x = 2^3 ou x = 2^4

  3. #3
    Jeanpaul

    Re : Exo arithmétique

    Regarde si 2004 est divisible par certains nombres, dont 3 et 4.
    Dès lors, tu peux appliquer la relation démontrée en faisant x = 2^3 ou x = 2^4

  4. #4
    chr57

    Re : Exo arithmétique

    oui, merci, j'ai réussi à trouver.
    Par contre, je bloque à la 2.a.
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Exo arithmétique

    Mais c'est la même relation, en posant x = a^d

  7. #6
    chr57

    Re : Exo arithmétique

    ah oui :

    si on pose , on a alors



    et divise .

    Et pour la 3.b. deuxième point, pour calculer le PGCD, je vois pas comment me servir du résultat précédent pour trouver.
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  8. #7
    chr57

    Re : Exo arithmétique

    Bon, j'essaie :

    a la question 3.b 1er point, on trouve



    Ainsi, soit et

    et donc

    et 1 appartiennent à Z :

    d'après l'identité de Bezout :



    et

    Une confirmation ?
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

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