Exo arithmétique

[chr57]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour 2 questions de problème :
la 2.b et 3.b :

1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x :

Dans toute la suite de l'exercice, on considère un nombre entier a supérieur ou égal à 2.

2. (a) Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n : n = dk.
Montrer que est un diviseur de

(b) Déduire de la question précédente que est divisible par 7, par 63
puis par 9.

3. Soient m et n deux entiers naturels non nuls et d leur PGCD.
- (a) On définit m' et n' par m = dm' et n = dn'. En appliquant le théorème de Bézout à m' et n', montrer qu'il existe des entiers relatifs u et v tels
que : mu - nv = d.

- (b) On suppose u et v strictement positifs.
Montrer que :

Montrer ensuite que est le PGCD de et

(c) Calculer, en utilisant le résultat précédent, le PGCD de et de

Mon soucis à la 2.b :

Donc divise
Mais je ne pense pas qu'on puisse généraliser à la réponse.

Pour la 3.b, je n'arrive pas à montrer le deuxième point.

Merci de votre aide.
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[Jeanpaul]

Regarde si 2004 est divisible par certains nombres, dont 3 et 4.
Dès lors, tu peux appliquer la relation démontrée en faisant x = 2^3 ou x = 2^4

[Jeanpaul]

Regarde si 2004 est divisible par certains nombres, dont 3 et 4.
Dès lors, tu peux appliquer la relation démontrée en faisant x = 2^3 ou x = 2^4

[chr57]

oui, merci, j'ai réussi à trouver.
Par contre, je bloque à la 2.a.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Mais c'est la même relation, en posant x = a^d

[chr57]

ah oui :

si on pose , on a alors



et divise .

Et pour la 3.b. deuxième point, pour calculer le PGCD, je vois pas comment me servir du résultat précédent pour trouver.

[chr57]

Bon, j'essaie :

a la question 3.b 1er point, on trouve



Ainsi, soit et

et donc

et 1 appartiennent à Z :

d'après l'identité de Bezout :



et

Une confirmation ?