Exo arithmétique

[invitede8a3ed2]

Salut, j ai un petit exo de spécialité où je bloque un peu!

Soient a et b deux entiers naturels tels que:
PPCM( a ; a+5 ) = PPCM( b ; b+5 ) (1)

1_On appelle M la valeur commune de ces deux PPCM. Démontrer que M est premier avec 5 ou que M est un multiple de 5

On montre que pgcd(M;5)=1 ou que M=5*q (q entier) mais comment?!!

2_Supposons que M soit premier avec 5, -démontrer qu'il en est de même pour a et b
-Démontrer que l'égalité (1) implique a(a+b)=b(b+5) puis Déduire que a=b

La je rame!

3_Supposons que M soit multiple de 5, Démontrer qu'il en est de même pour a et b , déduire que a=b

Merci de votre aide!
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[invitee57dbebc]

Pour la première question, moi je ferais par disjonction des cas.
- c'est à dire si M est multiple de 5 c'est "bon"
- si M n'est pas un multiple de 5 alors 5 ne divise pas M, comme les seuls diviseurs(positifs) de 5 sont 1 et 5 le seul diviseur commun de M et 5 ne peut être que 5 donc PGCD(M,5) = 1 soit M et 5 premiers entre eux.

[invitede8a3ed2]

Il ne faut pas justifier " M multiple de 5" alors???

[invitee57dbebc]

Non, soit M est multiple de 5, soit il ne l'est pas il n'y a pas d'autres possibilités : c'est la disjonction des cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitede8a3ed2]

Avez vous des idees pour les questions 2 et 3 ???

[invitee57dbebc]

Pour le 2.a
Comme M >= 5, si M et 5 sont premiers entre eux <=> M n'est pas un multiple de 5.(idem pour a et b)
a ne peut pas être multiple de 5, car si c'était le cas a=5k et donc M qui est un multiple de a s'écrirait M=Ka=K(5k) ce qui est impossible ( M serait multiple de 5).
Pour b c'est identique.

[invitee57dbebc]

Pour le 2.b ce ne serait pas plûtot a(a+5)=b(b+5) ?