[exo] Les restes d'une progression arithmétique

[invite9b6e0fb5]

TS Spé Maths

J'ai un peu de mal sur un exercice ou il faut donner une démonstration, voilà la partie de l'énoncé que je n'arrive pas à faire.

On pose pour tout n appartenant à N, Un =an+b et on considère ka suite des restes de Un dans la division par p (a, b et p sont des entiers naturels fixés, p>=2)

a) Combien de restes distincts posibles?
Il y avait une premiere partie qui permettait de dire qu'il resté b possibilités

b) En déduire que parmi les nombres U0, U1,...,Up, il existe 2 nombres ayant le même reste.
( On notera m et m+T les 2 plus petits rangs des entiers vérifiant cette propriété; ainsi:

Um congru à U(m+T)[p] (m+T en indice.) avec m>=0 et T>0

c) Montrer que pour tout entier k, U(T+k) congru à Uk[p]

En déduire que la suite des restes est périodique de période T, à partir du rang 0, et que T=<p

Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer sur la question b & c?

Au niveau de la b), je pense qu'il y a p+1 élément donc qu'il y aura forcément 2 nombre ayant le même reste, mais je ne sai pas comment mettre en forme mon idée.

et pour la c), je n'ai aucune idées :/

Merci de votre aide
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[matthias]

Au niveau de la b), je pense qu'il y a p+1 &#233;l&#233;ment donc qu'il y aura forc&#233;ment 2 nombre ayant le m&#234;me reste, mais je ne sai pas comment mettre en forme mon id&#233;e.

Oui c'est &#231;a. On appelle g&#233;n&#233;ralement cela le principe de Dirichlet, ou lemme des tiroirs (on ne peut pas ranger p>n objets dans n tiroirs sans qu'un tiroir ne contienne aux moins deux objets). Je pense que la mani&#232;re dont tu l'as pr&#233;sent&#233; est suffisante.
Sinon on peut traduire &#231;a en terme de fonctions en disant que si p > n, il n'existe pas d'injection d'un ensemble de cardinal p dans un ensemble de cardinal n.

Pour la c), tu as bien du essayer quelque chose. Que peux-tu d&#233;duire du r&#233;sultat de la b) sachant que Un = an+b ?

[invite9b6e0fb5]

Pour la c), tu as bien du essayer quelque chose. Que peux-tu d&#233;duire du r&#233;sultat de la b) sachant que Un = an+b ?

Selon b), Le reste de U= le reste de U avec T = b-1 (selon le 1) ?

Enfin je crois comprendre sans arriver &#224; l'exprimer rah!

En gros, &#224; tout les rang p Reste de Up = Reste de Uo ...

[matthias]

avec T = b-1 (selon le 1) ?

????
Je ne sais pas quels résultats vous avez démontré avant, mais tu n'as pas besoin de supposer ceci. Par contre utilise le fait que Un = an+b

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b6e0fb5]

heu j'ai un doute, la congruence si a congru a b[p]
vaut aussi a-b=p ? mince j'ai un trou, je suppose que l'on doit se servir de &#231;a...

[matthias]

pas a-b = p, mais a-b multiple de p.

[invite9b6e0fb5]

pas a-b = p, mais a-b multiple de p.

Merci jvais voir ce que je peux en faire