Construction du logarithme népérien

[inviteeba7fcab]

Bonjour, je dois resoudre un probleme qui vise à constuire ln!
on étudie d'abord une somme sur les entiers naturels qui démontre que
L(nm) = L(n) +L(m) , et que l'application est strictemnt croissante, on étend ce resultat à Q, et on démontre que c'est un morphisme de groupe (Q+,*)=> (R,+)
en précisant que pour n entier naturel lim(en +l'inf) (L(1+1/n))=0

Et on veut maitenant etendre à R

c'est la que tout se complique, on pose A= {r de Q, r<x} (x r&#233;el positif non nul)
et on pose f(x) = sup{ L(r), r de A}

on montre l'existence de L(r) p&#251;isque Q est dense dans R, l&#224; il me reste &#224; montr&#233; que {L(r), tq r<x} est major&#233; pour que f(x) existe!!

on a evidemment pour x appartenant &#224; Q , f(x)=L(r)
et f strictement croissante
il s'agit maintement de d&#233;montrer la continuit&#233; de f qui se d&#233;finie maintenant par
f x=> l(r) si x€Q et sup{ L(r), r de A} sinon

et la je me demande s'il suffit d'&#233;crire lim(x=>r) f(x) =L(r)

ensuite je dois montrer que f est un morphisme de groupe sur R+ mais la je peine..et pour finir d&#233;montrer les limites en 0+ et +l'inf de f ( - l'inf et + l'inf respectivement)

Merci d'avance
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[shokin]

Cela peut peut-être t'aider.

La même chose en format pdf.

Chapitre complet

Shokin

[matthias]

c'est la que tout se complique, on pose A= {r de Q, r<x} (x réel positif non nul)
et on pose f(x) = sup{ L(r), r de A}

on montre l'existence de L(r) pûisque Q est dense dans R, là il me reste à montré que {L(r), tq r<x} est majoré pour que f(x) existe!!

La densité ne sert pas à montrer l'existence de L(r). L(r) existe puisque tu as déjà construit L sur Q et que r appartient à Q. Ensuite il suffit de prendre un rationnel supérieur à x pour avoir ta majoration.

[inviteeba7fcab]

Je connais les definitions du logarithme népérien, mon but c'est de le construire!!
Meric quand même!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeba7fcab]

Donc la densit&#233; de Q dans R sert pour la continuit&#233; de f, Non???

[invite6b1e2c2e]

Donc la densité de Q dans R sert pour la continuité de f, Non???

Yep !
D'autant que la continuité de f en un point x se déduit seimplement de la continuité de f en 1, car
f(x)-f(y) = f(x/y)-f(1) (à démontrer quand même pour tout x et y rééls)

et même la continuité de f en 1+ d'ailleurs car f(a)=-f(1/a)

Or il se trouve que f est croissante et tu as démontré que
lim f(1+1/n) = 0 quand n tend vers l'infini.

D'où la continuité, non ?

Pour la limite en + infini et en zéro. Regarde a^n
f (a^n)=n*f(a)
ça, c'est trivial.
Ensuite, f est croissante. Donc si f(a)>0,i.e; a >1, tu as f(a^n) qui tend vers l'infini, et dnc la fonction aussi puisqu'elle est croissante. Idem si f(a)<0... (sinon tu peux aussi dire f(x)=f(1/(1/x))=-f(1/x) )

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rvz

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rvz

[inviteeba7fcab]

Yep !
D'autant que la continuité de f en un point x se déduit seimplement de la continuité de f en 1, car
f(x)-f(y) = f(x/y)-f(1) (à démontrer quand même pour tout x et y rééls)

Le probleme c'est que le fait que f soit un morphisme de groupe doit être démontrer plus tard dans le probleme...
et puis on a demontrer que l(1+1/n) avait 0 comme limite en l'infini mais pas f..donc pour la continuité...je comprend pas trop bien en fait...c'est pas evident de dire f(x)=l(x) enfin je pense qu"il y a des arguments a apporter!!! non???
Et si je dis simplement que lim (x td vers r) f= f(r) ???
j'ai du mal à saisir ce qu'il se passe...
en fait je pense que l(x) =f(x) pour x réel est la conclusion du probleme (un morphisme de groupe(avt dernière question) et pour la continuité il est préciser de se rapporter à l'elargissmeent sur Q....(3 partie du pblm!!) ??
en gros je n'ai toujours pas compris...dsl

[invite6b1e2c2e]

Le probleme c'est que le fait que f soit un morphisme de groupe doit être démontrer plus tard dans le probleme...

C'est pas la première fois que les questions d'un problème sont dans le désordre.

et puis on a demontrer que l(1+1/n) avait 0 comme limite en l'infini mais pas f..donc pour la continuité...je comprend pas trop bien en fait...c'est pas evident de dire f(x)=l(x) enfin je pense qu"il y a des arguments a apporter!!! non???

On a quand même que f est croissante (si x<y, prends un rationnell entre les 2) et que f(r)=L(r) pour r rationnel, ce qui est le cas pour r =1 +1/n.
f(1) = L(1) = 0, f est croissante, donc tu peux conclure que f est continue à droite en x=1. Et donc continue à gauche par ce que je disais tout à l'heure. Donc continue en 1.
Remarquons que la croissance de f est claire.
Continuité en x :
Par définition du sup, il existe une suite x_n de rationnels < x telle que f(x_n) -> f(x).
Si x_n ne tend pas vers x, alors, liminf x_n est un nombre z < x et on aurait f(z)=f(x). Impossible car je peux trouver deux rationnels r1 et r2 compris entre z et x tels que r1 <r2. Or cela entraine que f(r1)< f(r2). La croissance de f amènerait une contradiction.
Donc, si je me donne epsilon >0, alors il existe un K tel que pour n >= K, |f(x_n) -f(x)| = f(x) -f(x_n) < epsilon.
Donc, si y satisfait x_K < y <=x, f(x)-f(y) <epsilon.
D'où la continuité à gauche, la croissance entrainant f((y)<f(x).
Ensuite, si je me donne y_n une suite de rationnels qui converge vers x par valeurs supérieures.
Alors f(y_n) -f(x_n) = f(y_n/x_n) qui tend vers 0 car f est continue en 1.
Donc pour epsilon >0, je peux trouver un n tel que f(y_n/x_n) < epsilon, et donc
f(y_n)<f(x_n)+ epsilon < f(x)+ epsilon.
Donc pour z satisfaisant x<z<y_n, par croissance de la fonction f, je conclus que |f(z)-f(x)|<epsilon.
Donc f est continue en x.

Enfin, tu démontres que c'est une loi de groupe en disant :
x_n suite de rationnels qui tend vers x,
y_n idem pour y
alors f(x_n)+ f(y_n) = f(x_n*y_n) et tu peux passer à la limite par continuité.
Ouf

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rvz