logarithme népérien

[invite776a26e4]

Bonjour. je n'arrive pas à faire cet exercice (je comprend rien sur le log). pourriez-vous m'aider svp??

f est la fonction définie sur ]0;+ l'infini[ par f(x)=(1+lnx)/x.
et C est sa courbe dans un repère orthonormal (O,i,j)

1/Etudiez les variations de f.

2/ On note M1,M2,M3,M4 les points suivants de C:
* M1 est l'intersection de C avec l'axe des abscisses
* M2 est le point en lequel la tangente à C passe par l'origine du repère
* M3 est le point en lequel la tangente à C est parallèle à l'axe des abscisses
* M4 est le point en lequel la dérivée seconde de la fonction f s'annule.

a) calculez les abscisses des points M1,M2,M3,M4.
b) démontrez que ces abscisses sont en progression géométrique.

Voila. Merci beaucoup pour votre aide
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[invitefa636c3d]

essaye donc de dériver cette affaire après voir regardé l'ensemble de dérivabilité de ta fonction
tu as un quotient u/v donc tu dois connaitre la dérivée...

[invitefa636c3d]

re

pour la dérivée tu dois trouver si je ne m'abuse -ln(x)/x²
n'oublie d' étudier les limites de ta fonction en 0 et en oo (facile par croissance comparées)

pour l'histoire des points M1,M2... il suffit tout simplement de connaitre l'équation de la tangente en une courbe
pour information M4 s'appelle un point d'inflexion ...

réponse 2b): progression géométrique en racine(e) ... (sauf erreur ou omission)

jameso

[invitede9878e9]

Bonjour,

Moi aussi je dois faire ce même exercice.

J'ai réussi à étudier les variations de f(x), à calculer M1 et M4 par contre pour M2 et M3 je ne vois pas quelle équation je dois résoudre.

Pouvez-vous me mettre un peu sur la voie ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,

Moi aussi je dois faire ce même exercice.

J'ai réussi à étudier les variations de f(x), à calculer M1 et M4 par contre pour M2 et M3 je ne vois pas quelle équation je dois résoudre.

Pouvez-vous me mettre un peu sur la voie ?

Merci d'avance

Bonjour,
pour M2, la tangente à la courbe passe par l'origine.
Et bien, cette tangente au point (x0;f(x0)) a une équation que normalement tu sais calculer. Ensuite il suffit de dire que cette tangente passe par (0;0) ce qui donne une équatin qui permet de calculer x0.

pour M3, que peut-on dire sur f'(x) quand la tangente est horizontale ?

[invitede9878e9]

En effet, Tangente horyzontale à C courbe représentative de f(x), alors la dérivée f ' (x) s'annule.
Donc (-lnx)/x² = 0
...
x = 1

Donc point d'abscisse xM3 = 1.


Par contre pour l'équation de la tangente au point A d'abscisse a = 0

y= f ' (a) (x-a) + f (a)
y= (ln0)/x² (x-0) + (1+ln0)/0)
mais ln0 et (1+ln0)/0) IMPOSSIBLE, non ?

Merci pour m'avoir mis sur la voie pour M3 mais pour M2 je ne vois pas trop.

Merci

[invite35452583]

re,
dans ton équation que sont x et y ? Les cordonnées de points de la courbe représentative de f ou celles de points de la tangente ?
qu'est a ? abscisse de points de la courbe représentative de f ou celle de points de la tangente ?
Au moment où est affirmé que l'origine est sur la tangente quelles inconnues deviennent alors nulle ?

[invitede9878e9]

Il faut que l'équation de la tangente soit égale à celle de f(x) :

(1+lnx)/x = f ' (a) (a-x) + f(a)

Mais a n'est pas égal à 0. En fait, je ne vois pas trop ce qu' est a, nous on recherche x.

[invite35452583]

Re,
fais un dessin avec d'une part une courbe C ressemblant à celle de f et trace une tangente T passant par 0.
On cherche le point M2 sur la courbe sur la courbe et sur une tangente de ce type (certaines courbes en ont plusieurs). Donnons lui des coordonnées par exemple (truc,bidule). bidule peut être immédiatement remplacer par f(truc).
Maintenant plaçons un point M (x,y) quelconque sur la tangente T.
Ecrire alors sur la tangente l'équation de T dans laquelle va donc apparaître truc, f(truc),x et y. L'équation doit être satisfaite quand on remplace (x,y) par (truc, f(truc)) car M2 est sur la tangente.
Maintenant, l'origine (0;0) est sur la tangente et il faut exprimer cela grâce à l'équation de T. truc et f(truc) resteront par contre x et y auront disparu.
cette dernière équation donnera via sa résolution truc et donc les coordonnées de M2.

Bon courage

[invitede9878e9]

équation de tangente :
y = f ' (a) (a-x) + f(a)
y = f ' (a)a - f ' (a)x + f(a)
or x = 0
donc y = f ' (a)a + f(a)

Ensuite, f ' (a)a + f(a) = f(a)
f ' (a)a = 0
(-lna)a/a² = 0
-lna/a = 0
-lna = 0
a = 1

Donc abscisse de M2 = 1. Mais ça ne correspond pas à mon graphique donc ce que je viens d'écrire est faux. Mais je ne sais pas où est l'erreur.

[invite35452583]

équation de tangente :
y = f ' (a) (a-x) + f(a)
y = f ' (a)a - f ' (a)x + f(a)
or x = 0
donc y= f ' (a)a + f(a)

Ensuite, f ' (a)a + f(a) = f(a)
f ' (a)a = 0
(-lna)a/a² = 0
-lna/a = 0
-lna = 0
a = 1

Donc abscisse de M2 = 1. Mais ça ne correspond pas à mon graphique donc ce que je viens d'écrire est faux. Mais je ne sais pas où est l'erreur.

Elles sont mises en évidence : une étourderie au départ et ensuite tu oublies que (x,y) sont les coordonnées du point sur la tangente. Celles de l'origine ne vérifient pas que x=0 mais également y=??? en tout cas certainement pas y=f(a).

[invite5913fbcf]

Salut a tous!j'aimerai qu'on m'aide a dérivée une fonction logarithme!!!f(x)=2x(1-lnx) c'est le premier exercice que je fais et je comprends pas trop!!merci de me répondre!et bonne année a tous!

[invitea7fcfc37]

Salut,

Tu n'es pas au bon endroit pour poster, ici c'est les maths post-bac.
Pour ton exo, tu as juste à appliquer la formule de dérivation d'un produit, et voir ce que ça te donne.

A+

[invite5913fbcf]

merci mais vous avez de l'expérience c'est pour sa que je suis venue ici!lol

[invitea7fcfc37]

Oui mais ça ne sert à rien car les grands vont chez les petits et inversement, la preuve, j'suis encore au lycée.

[invitefefd30b2]

Ouii bonjour, je voulais savoir comment arriver vous à trouver le point M1!!! Il faut bien résoudre l'équation:
(1+lnx)/x=0
non????
Merci d'avance

[invitec053041c]

Oui, et ça ne devrait pas être bien difficile à résoudre.

[breukin]

Tout ceci n'est pourtant pas bien difficile, mais nécessite d'être méthodique:

M1 est l'intersection de C avec l'axe des abscisses
Donc f(x₁)=0, donc ln x₁=–1 et donc x₁=1/e

Par ailleurs, f '(x)=–ln x/x²
L'équation de la droite tangeante à C au point (a,f(a)) est
y = f(a)+(x–a)f '(a)
Enfin f "(x)=(–1+2 ln x)/x³

M2 est le point en lequel la tangente à C passe par l'origine du repère.
Donc 0 = f(x₂)–x₂ f'(x₂), puisque (x=0, y=0) doit vérifier l'équation précédente avec a=x₂, donc après développement 1+2 ln x₂=0 et donc x₂=1/e^½

M3 est le point en lequel la tangente à C est parallèle à l'axe des abscisses
Donc f '(x₃)=0 et donc ln x₃=0 et x₃=1

M4 est le point en lequel la dérivée seconde de la fonction f s'annule
f "(x₄)=0 donc –1+2 ln x₄ = 0 donc x₄=e^½

Les abcissent appartiennent à la progression géométrique de raison e^½