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Résolution équations de degré 3, coefficients complexes



  1. #1
    hoho

    Résolution équations de degré 3, coefficients complexes


    ------

    Bonjour,

    Je ne vois pas trop de quelle manière procéder pour résoudre les équations polynômiales du 3e degré de la forme : ax^3 + bx^2 + cx + d=0 avec a, b, c et d complexes. Je sais résoudre les équations de degré 2 à coefficients complexes ainsi que les équations de degré 3 à coefficients réels par la méthode de Cardan.

    Merci de votre aide.

    -----

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  3. #2
    tize

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    Ne peut-on pas appliquer la méthode de Cardan avec des coefficients complexes ?
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  4. #3
    edpiste

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    c'est peut-être le calcul de radicaux complexes qui te gêne ?

  5. #4
    hoho

    Thumbs up Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    J'ai essayé d'appliquer la méthode de Cardan et j'obtiens un discriminant complexe (rien de très étonnant). Mais je suis bloqué puisque le signe du discriminant est censé donner le nombre et le type de solutions. Et comme il n'y a pas de relations d'ordre dans les complexes..

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    edpiste

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    C'est ce que je pensais. Il faut que tu commences par savoir résoudre une équation ax^2 + bx+c=0 à coefficients complexes avant de te lancer sur les équations d'ordre 3 !
    Donc il te manque : savoir calculer la racine carrée du discriminant quand il est complexe. C'est-à-dire résoudre
    pour z
    z^2 = a + ib
    Ecris l'équation en cartésiennes (z=x+iy) et exploite le fait que le module de z^2 égal module de a+ib pour t'en sortir.

  8. #6
    hoho

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    J'arrive à trouver la racine carrée de delta:
    ca donne le système

    a^2-b^2= Re(delta)

    ab= Im(delta)/2

    après ca donne une équation bicarrée :

    a^4-Re(delta)a^2- (Im(delta)/2)^2=0

    Ensuite je pose A= a^2 et je résouds. J'obtiens deux solutions complexes conjuguées. Mais c'est après que je bloque en fait...

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  10. #7
    edpiste

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    Il faut que je parte. J'essaie de te répondre dans quelques heures. Entre temps, précise-moi où tu bloques

  11. #8
    hoho

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    En fait, je comprends pas pourquoi, pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes, on calcule la racine de delta et on fait comme si delta était positif pour trouver les solutions.
    Donc c'est pour ca que je suis bloqué apres le calcul de racine de delta dans les équations du 3e degré.

    Est-ce-qu'il faut faire comme si delta était positif dans la suite?
    Dans ce cas la,

    u=racine3[ (-q+racine(delta)) /2 ]

    v=racine3[ (-q-racine(delta)) /2 ]

    Donc trois solutions:

    x1= u+v
    x2=ju+(j^2)v
    x3=(j^2)u+jv

    Et à ce moment là, j'ai plus de problème. Sauf peut être la racine cubique d'un complexe mais je crois qu'il y a des formules..

  12. #9
    ericcc

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    Dans C il y a toujours 3 solutions (éventuellement répétées), donc pas de problème à se poser sur le signe du déterminant...

  13. #10
    edpiste

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    Il y a deux cas dans C :

    soit le discriminant est nul, dans ce cas le le binôme a une racine

    soit le discriminant est non nul, dans ce cas le binôme a deux racines distinctes, obtenues par la formule usuelle.

    On peut alors continuer la suite des considérations sans se poser de question de signe

    Dans tous les cas, les formules que tu donnes doivent rester valables.

    Le plus simple, c'est d'oublier complètement qu'on travaille avec des complexes et regarder les formules qu'on obtient à la toute fin de la méthode .
    Applique ces formules dans le cas complexe et le tour est joué (à condition bien sûr de savoir calculer une racine carrée ou cubique d'un nombre complexe)
    Dernière modification par edpiste ; 01/12/2006 à 13h18.

  14. #11
    hoho

    Re : Résolution équations de degré 3, coefficients complexes

    ah ok merci!

    En fait c'est pour faire un programme de résolution en langage C. Avec un peu de chance y a des fonctions prédéfinies qui calculent les racines carrées et cubiques des complexes..

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