équation a coefficients complexes

[inviteb3540c06]

bonjour tous le monde j'aurais besoin d'un coup de main pour résoudre l'exo suivant :


Pour quelles valeurs du complexe "a" l'équation:
(a+i)z^2+z+a-i=0
a-t-elle 2 racines conjuguées? et d'autre part 2 racines imaginaires pures?

pour les racines conjuguées je trouve a=-(1/r)-i avec r réel différent de 0 en posant r= z0+z1 =-1/(a+i) avec a différent de -i .

j'ai obtenu a en identifiant le polynome p(z)=(a+i)z^2+z+a-i avec le polynome p(z)=(a+i)(z-z0)(z-z1) en supposant que z0 et z1 soient 2 racines conjuguées du polynome p(z)=(a+i)z^2+z+a-i. En remplacant a par sa valeur dans p je me retrouve avec l'équation :

-z^2/r + z - 1/r -2i =0

or a 1 signe prés les racines ne sont pas conjuguées et je ne vois pas ou j'ai fait d'erreur si quelqu'un pouvait m'éclairer il ou elle serait la bienvenue.

Merci
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[invite35452583]

Bonjour,
il me semble que tu as oublié que deux nombres complexes z0 et z1 conjugués ont non sulement une somme qui est un réel mais également un produit réel positif.
(a+i)z²+z+a-i=(a+i)[z²+(1/(a+i))z+(lal-i(a+conj(a))-1)/(lal+1)]
Il faut que ce dernier polynôme ait deux racines conjuguées donc 1/(a+i) réel OK mais aussi lal-i(a+conj(a))-1 réel positif soit pour ce dernier a+conj(a) imaginaire pur ce qui n'est possible que si a est un imaginaire pur (a+conj(a)=0).
On a alors a=-i ce qui impose une unique racine au polynôme initial.
Bref j'aboutis par cette autre voie au même résultat que toi : une absence de solution pour a.

Cordialement

[inviteb3540c06]

sincèrement j'ai pas compris tout ton raisonnement

[inviteb3540c06]

est ce vrai qu'il n'y est pas de valeur de a possible pour l'équation?
Merci
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonsoir,
comme je suis un peu fatigué ce serait bien que quelqu'un confirme mais si tu n'as pas fait d'erreur (à part ne pas avoir osé conclure) ou si je n'ai pas fait d'erreur : il n'y a pas de solution pour a.

[inviteb3540c06]

ok merci pour tout homotopie
a bientot j'espère

[inviteb3540c06]

correction l'énoncé est :

Pour quelles valeurs du complexe "a" l'équation:
(a+i)z^2+z+a + i=0
a-t-elle 2 racines conjuguées? et d'autre part 2 racines imaginaires pures?

en posant a= x+iy
je trouve que l'équation admet 2 racines conjuguées ssi :

x appartient à ]-inf;-1/2 [ U ] 1/2;+inf [
et
y=-1
a vérifier

cordialement