polynôme toujours et encore...

[inviteb3540c06]

bonjour tous le monde,

j'ai un peu de mal avec l'exo suivant :

montrer que tout polynôme P appartenant à R[X ] ne prenant que des valeurs positives s’écrit P = Q^2 + R^2 avec
Q,R appartenant à R[X ] ?

Merci
Cordialement
-----

[invite78bdfa83]

tout d'abord suppose qu'il s'écrit d'une telle maniere..
On a P(X)=Q^2(X)+R^2(X)=Q(X)^2-i^2R^2(X)
=(Q(X)+i*R(X))(Q(X)-i*R(X))

Ensuite, comme ton polynome ne prend que des valeurs positives ( strictement) , il n'a donc aucune racine dans R et il les a toutes sur C.Lorsque tu décomposes ton polynome en facteurs irréductibles sur C tu remarques qu'il va etre de la forme
P(X)=(X-w1)(w-_w1_)..(X-wn)(X-_wn_)
Ou _wn_ signifie le conjugué de wn ( je suis un néophite en latex)
Ainsi tu va reécrire
P(X)=(X-w1)..(X-wn) * (X-_w1_)...(X-_wn_)
=U(X)*_U_(X)
en écrivant U(X)=Re(U(X))+i*Im(U(X)), tu auras alors écrit P sous la forme voulue...

Il existe peut etre une démonstration plus courte...et plus détaillée.. mais ca donne au moins une idée.. (j'espere !)

[invite35452583]

Bonjour,
P peut se décomposer en un produit d'une constante, d'un produit de (X-a)^k avec a réel, et de polynôme ((X-z)(X-z*))^h avec z un complexe non réel, z* son conjugué.
a) montrer que la condition P>=0 => constante >=0
b) montrer que k pair
c) montrer que (X-z)(X-z)*=(Qz+iRz)(Qz-iRz) avec Qz et Rz deux polynômes réels
d) étendre c) au cas général
e) conclure

[invitea3eb043e]

C'est bien vu, mais je me demande si la décomposition en somme de 2 carrés est unique. Pas d'idée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

C'est bien vu, mais je me demande si la décomposition en somme de 2 carrés est unique. Pas d'idée.

Bonne question mais non.
Contre-exemple
X²=(aX)²+(bX)² avec a²+b²=1
et (X²-2)²+(3X)²=(X²+2)+x².
Ce dernier est obtenu en regroupant de deux manières différentes les racines conjuguées (à l'instar de la réécriture de somme de carrés par l'intermédiaire des entiers de Gauss)