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résolution d'une équation avec coefficients complexes



  1. #1
    Lindaaa

    Post résolution d'une équation avec coefficients complexes


    ------

    Bonsoir!

    J'ai besoin d'un peu d'aide pour mes révisions. Comment fait-on pour résoudre une équation avec coefficients complexes? Y-a-t'il une méthode générale?
    J'ai un exemple pour illustrer vos explications:
    résoudre
    z3 - (1-i) z2 - (2-2i)z + 8 = 0
    sachant qu'elle admet une solution réelle a (et on note b et c les deux autres solutions).

    Merci beaucoup!

    -----

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  4. #2
    Jeanpaul

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Soit donc a cette racine réelle. Remplace z par a dans l'équation, ça fait zéro, évidemment.
    Mais tu as alors devant toi, si tu arranges un peu les choses, un nombre complexe A + i B = 0 où A et B sont réels. Tu conclus.

  5. #3
    Lindaaa

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Attend je comprends pas... Quand tu remplace z par a, tu fais quoi..?! merci!

  6. #4
    Coincoin

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Salut,
    Tu remplaces z par a, puis tu prends la partie réelle et la partie imaginaire de l'équation, en te souvenant bien que a est réel.
    Encore une victoire de Canard !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Lindaaa

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Ah c'est bon, je crois que j'ai compris, dis-moi si c'est ça...
    Alors tu remplaces z par a, tu obtiens A+iB=0 et alors a=-2. Et ensuite tu dis que a étant une racine, tu peux factoriser par (z+2)(az^2+bz+c) et tu procèdes ensuite par identification des coefficients. C'est ça, non?!

  9. #6
    Coincoin

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Exactement.
    Encore une victoire de Canard !

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  11. #7
    Lindaaa

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Ouaiii!
    Et quand on a une équation du style z2+ 5(1-i) z - 4i + 3 = 0. Il faut calculer le discriminant mais après pour avoir sa racine.. on fait comment?!

  12. #8
    Jeanpaul

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Cette équation du second degré n'est pas celle que je trouve quand on a mis (z+2) en facteur.
    Autrement, pour calculer la racine carrée d'un complexe, le plus souvent, il vaut mieux mettre sous forme module - argument,la racine carrée vient toute seule.

  13. #9
    Lindaaa

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Non, c'est une toute autre équation. Je n'ai pas encore vu les arguments...

    Mais en tout cas merci beaucoup de votre aide, je viens d'avoir un DST ce matin et toute la partie concernant la factorisation d'un polynôme je pense avoir bon et comme l'exo était sur 7 points..!

    Enfin j'attends de voir ma note quand même...

  14. #10
    Jeanpaul

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    Pour calculer la racine carrée d'un nombre complexe de la forme a + i b où a et b sont des réels, on peut la chercher sous la forme x + i y où x et y sont des réels.
    On a donc :
    (x + i y)² = a + ib que l'on peut décomposer en :
    x² - y² = a
    2 x y = b
    donc :
    y = b/(2x)
    x² - b²/4x² = b
    Ca donne une équation du second degré où x² est l'inconnue. On en tire y.

  15. #11
    mahdihalleb

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    salut je voudrais savoir dans une equation complexe si on a z= a+ib solution
    alors est ce que son conjugue Z= a-ib est toujours une solution ? ( c 'est un théorème ou pas ) Merci

  16. #12
    pallas

    Re : résolution d'une équation avec coefficients complexes

    non si z est solution le conjugue de z n'est pas obligatoirement solution par exemple ( z-i) (z+3i) = 0
    par contre ce principe est exact si tous les coefficients de l'équation sont des reels par exemple 7 z²+4 z+9= 0 faux si on a 7iz² +3z + 9=0

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